Matematyka.pl

Witam. Mam udowodnić, że \(\displaystyle{ a_{b}>3b}\) , gdzie \(\displaystyle{ a_{b}}\) to b-ta liczba pierwsza, przy czym \(\displaystyle{ b \ge 12}\). Oczywiście bez problemu udowodniłam to dla \(\displaystyle{ b=12}\), ale dla \(\displaystyle{ b+1}\) przychodzi mi tylko na myśl, że \(\displaystyle{ a_{b+1} \ge a_{b}+2}\), co korzystając z założenia indukcyjnego daje mi \(\displaystyle{ a_{b+1}>3b+2}\), co nie dowodzi prawdziwości tezy. Czy ktoś ma pomysł jak temu zaradzić?

Tak, skoro \(\displaystyle{ a_b>3b}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b\in \NN^+}\), to \(\displaystyle{ a_b\ge 3b+1}\), a więc \(\displaystyle{ a_{b+1}\ge 3b+3=3(b+1)}\), lecz nie może w tej ostatniej nierówności zajść równość, gdyż dla \(\displaystyle{ b\in \NN^+}\) liczba \(\displaystyle{ 3(b+1)}\) jest złożona.