Matematyka.pl

Udowodnić, że dla każdego n e N takiego, że n => 2:
[1/(2^2)] + [1/(3^2)] + ... + [1/n^2]

jackass pisze:Udowodnić, że dla każdego n e N takiego, że n => 2:
[1/(2^2)] + [1/(3^2)] + ... + [1/n]

Krok 1

Sprawdzamy, czy twierdzenie jest prawdziwe dla najmniejszej z mozliwych wartosci n, czyli n=2.

1/4 < 1/2

Prawda.

Krok 2

Zakladamy ze twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n=k. Czyli:

1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 < (k-1)/k

Sprawdzamy, czy zachodzi dla n=k+1.

1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < k/(k+1)
1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 < k/(k+1) - 1/(k+1)^2
1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 < (k-1)/k - (k-1)/k + k/(k+1) - 1/(k+1)^2
1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 < (k-1)/k - [(k-1)/k - k/(k+1) + 1/(k+1)^2]

Teraz wystarczy wykazac ze:

(k-1)/k - k/(k+1) + 1/(k+1)^2 =< 0
(k-1)/k - k(k+1)/(k+1)^2 + 1/(k+1)^2 =< 0
[(k-1)(k+1)^2/k]/(k+1)^2 - (k^2+k-1)/(k+1)^2 =< 0
(k-1)(k+1)^2/k - (k^2+k-1) =< 0
(k^2-1)(k+1)/k - (k^2+k-1) =< 0
k^2+k-1-1/k - k^2-k+1 =< 0
-1/k < 0, co jest prawda poniewaz k > 0.

Pozdrawiam, GNicz

Tak indukcyjnie
1 krok to chyba jasne
2 Z:[1/(2^2)] + [1/(3^2)] + ... + [1/n^2]