Nie potrzeba w ogóle wymyślnej matematyki aby ciekawe rzeczy odkrywać. Przedstawię teraz indukcyjny dowód tego faktu.Wykażemy, że:
\(\displaystyle{ \left( 1+2+\ldots +n\right) ^{2}= 1 ^{3}+2 ^{3}+\ldots+n ^{3};}\)
dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 1}\).
Oto:
INDUKCYJNY DOWÓD TEGO FAKTU:
Mamy:
\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=1}^{1} i \right) ^{2}=1 ^{2}=1=1 ^{3}= \sum_{i=1}^{1} i ^{3}; }\)
zatem spełniona jest podstawa indukcji.
Krok indukcyjny:
Przypuśćmy, że równość zachodzi dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\).
Wtedy dla \(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\) mamy:
\(\displaystyle{ \left[ 1+2+\ldots +n+\left( n+1\right) \right] ^{2}= \left( 1+2+\ldots+n\right) ^{2}+ \left( n+1\right) ^{2}+2\left( n+1\right) \left( 1+2+\ldots +n\right)=}\)
co jest równe, na mocy założenia indukcyjnego:
\(\displaystyle{ = \left[ 1 ^{3}+2 ^{3}+\ldots+n ^{3}\right] +\left( n+1\right) \left[ \left( n+1\right)+ 2 \cdot \left( 1+2+\ldots+n\right) \right]=\left[ 1 ^{3}+2 ^{3}+\ldots+n ^{3} \right]+ \left( n+1\right) \left[ \left( n+1\right)+ 2\left( \frac{\left( n+1\right) \cdot n }{2} \right) \right]= \\ =\left[1 ^{3}+2 ^{3}+\ldots + n ^{3}\right] + \left( n+1\right)\left[ \left( n+1\right) \cdot \left( 1+n\right) \right]= \left[ 1 ^{3}+2 ^{3} +\ldots+n ^{3} \right] + \left( n+1\right)\left[ \left( n+1\right) ^{2} \right]= \\= 1 ^{3}+2 ^{3}+\ldots+n ^{3}+\left( n+1\right) ^{3};}\)
co dowodzi kroku indukcyjnego.
Zasada indukcji matematycznej powoduje, że równość jest spełniona dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n.\square}\)
Dodam tutaj jeszcze jeden dowód indukcyjny:
Wykażemy, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\), mamy podzielność: \(\displaystyle{ 4| \left( 3 ^{2n-1} +1\right) .}\)
Idea tej obserwacji:
Rozważmy reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) kolejnych naturalnych dodatnich potęg liczby \(\displaystyle{ 3}\). Otrzymujemy ciąg : \(\displaystyle{ \left( 3,9\mod 4=1,3\cdot 1=3,9\mod 4=1, \ldots\right) }\)
Skoro dla nieparzystych potęg mamy resztę \(\displaystyle{ 3}\), to takie potęgi, powiększone o jeden, będą podzielne przez cztery, a to odpowiada tezie zadania. Nie zastępuje to dowodu tego faktu. Oto :
INDUKCYJNY DOWÓD TEGO FAKTU:
Dla \(\displaystyle{ n=1}\), mamy: \(\displaystyle{ 3 ^{2 \cdot 1-1}+1 = 4}\) jest podzielne przez cztery, spełniona jest więc podstawa indukcji.
Krok indukcyjny:
Załóżmy, że podzielność zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ n \ge 1}\).
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ 3 ^{2\left( n+1\right) -1}+1}\) jest podzielne przez cztery.
Mamy:
\(\displaystyle{ 3 ^{2\left( n+1\right)-1 }+1= 3 ^{2n-1+2} +1= 9 \cdot 3 ^{2n-1}+1= 9 \cdot \left( 3 ^{2n-1}+0 \right)+1= 9 \cdot \left( 3 ^{2n-1} +\left( 1-1\right) \right) +1=\\= 9 \cdot \left( 3 ^{2n-1}+1 \right) - 9+1= 9 \cdot \left( 3 ^{2n-1}+1 \right)-8,}\)
I zauważmy, że zarówno \(\displaystyle{ 9 \cdot \left( 3 ^{2n-1}+1 \right)}\) jest podzielne przez cztery (na mocy założenia indukcyjnego), jak i \(\displaystyle{ 8}\) jest podzielne przez cztery, więc ich różnica również jest podzielna przez cztery.
W ten sposób udowodniliśmy krok indukcyjny, i, na mocy zasady indukcji, fakt jest prawdziwy dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1. \square }\)
)