Matematyka.pl

Witajcie!

Mam kolejny problem z paroma zadaniami dot. granic. Gdyby ktoś mógł mnie w jakimś przykładzie naprowadzić na rozwiązanie, byłbym wdzięczny. Chciałbym zaznaczyć, że nie oczekuję rozwiązania od kogoś w sensie wykonania rachunków za mnie, a jedynie naprowadzenia (chcociaż jeśli ktoś przedstawi pełny sposób, będę wdzięczny - piszę to tylko po to, żeby potem ktoś się mnie nie "czepiał ):

Oblicz:

a.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{8 cos^{3}x-1}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}}}\)

b.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to-\frac{\pi}{3}}\frac{sin(x+\frac{\pi}{3})}{1-8 cos^{3}x}}\)

c.)\(\displaystyle{ \large\lim_{x\to-\frac{\pi}{6}}\frac{8 sin^{3}x+1}{6x+\pi}}\)

d.)\(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1-sin(x))tg^{2}x}\)

e.)\(\displaystyle{ \large\lim_{x\to-5}sin(\frac{x+5}{3})+tg(\frac{\pi x}{10})}\)

f.)\(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{tg^{3}x-3 tg(x)}{cos(x+\frac{\pi}{6})}}\)

Z góry dziękuję.

Tego o) z poprzedniego topicu się mi niestety nie udało zrobić...

W przykładzie a) wystarczy podstawić za x pi/3 i wychodzi śliczne zero

Witaj Rogal!

Myślałem, że po poprzednim maratonie masz dość. Dlatego założyłem nowy topic.

Tego o) z poprzedniego topicu się mi niestety nie udało zrobić...

Trudno. Nie przejmuj się. Mnie też.

W przykładzie a) wystarczy podstawić za x pi/3 i wychodzi śliczne zero

Oj, oj. Nie prawda. Spójrz uważniej --> chociażby w mianowniku wychodzi 0, a jak wiadomo przez zero nie dzielimy...

Granica w przykładzie a ma wyjść \(\displaystyle{ -6\sqrt{3}}\). Hej.

Ojejku jejku!
Faktycznie, nie dopatrzyłem iksa tam. Wyglądał jak pi .
Czyli od nowa. A tak coś za pięknie wychodziło...

Viper pisze:d.)\(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1-sin(x))tg^{2}x}\)

\(\displaystyle{ \large\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1-sin(x))tg^{2}x=\\=\large\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1-sin(x))\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}=\\=\large\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1-sin(x))\frac{sin^{2}x}{1-sin^{2}x}=\\=\large\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1-sin(x))\frac{sin^{2}x}{(1-sinx)(1+sinx)}=\\=\large\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{sin^{2}x}{1+sinx}=\frac{1}{2}}\)

Bardzo dziękuję djbolo . Jeden przykład mniej.

Czy naprawdę nikt nie ma pomysłu na resztę?

[ Dodano: Sro Wrz 21, 2005 9:24 am ]
OK. Podpunkt e.) też "rozwaliłem". Czy nikt nie ma pomysłu jak zrobić resztę? Ja konkretnie nie wiem, jak skrócić funkcję trygonometryczną w liczniku, gdy w mianowniku mam radiany...

Rogal Mam rozumieć, że "wysiadasz", czy nie masz czasu?

[ Dodano: Sro Wrz 21, 2005 5:13 pm ]
OK. Skoro nikt nie chciał mi pomóc, to sam rozwiązałem

Tak więc podpunkty: a, b, c, d, e są nieaktualne. Nie mogę sobie poradzić tylko z f. Może chcociaż w tym jednym ktoś pomoże?

Nie mam tu czasu przedstawiać dokładnych rozwiązań, ale wszystkie te przykłady rozwiązuje się analogicznie do a, czyli:

-licznik przedstawiamy w postaci iloczynowej z różnicy sześcianów
-mianownik przedstawiamy jako sinus stojących tam wartości, na mocy twierdzenia: \(\displaystyle{ \frac{sin(x)}{x}=1}\)
-wyciągamy przed nawias dwójkę z pierwszego nawiasu w liczniku, skutkiem czego dostajemy wzór na różnicę cosinusów
-dodajemy i odpowiednio skracamy agrumenty sinusa z mianownika, z sinusem w liczniku
-podstawiamy x'a i granica wychodzi pięknie, taka jaką podałem

Z dalszymi trzeba robić analogicznie. To znajdzie się ktoś chętny do tego f?

f najprosciej z de L'Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\pi/3}{\frac{tg^{3}x-3tgx}{cos(x+\pi/6)}}=\lim_{x\to\pi/3}{\frac{3tg^{2}x\frac{1}{cos^{2}}-3\frac{1}{cos^{2}x}}{-sin(x+\pi/6)}}=-24}\)

Chmmm... A jak nie mogę użyć de L'Hospitala?

wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\pi/3}{\frac{tg^{3}x-3tgx}{cos(x+\pi/6)}}=\\\lim_{x\to\pi/3}{\frac{tgx(tg^{2}x-3)}{cos(x+\pi/6)}}=\\\lim_{x\to\pi/3}{\frac{sinx(tg^{2}x-3)}{cosxcos(x+\pi/6)}}=\\\lim_{x\to\pi/3}{\frac{sinx(1/cos^{2}x-4)}{cosxcos(x+\pi/6)}}=\\\lim_{x\to\pi/3}{\frac{sinx(1-4cos^{2}x)}{cos^{3}xcos(x+\pi/6)}}=\\\lim_{x\to\pi/3}{\frac{sinx(4sin^{2}x-3)}{cos^{3}xcos(x+\pi/6)}}=\\\lim_{x\to\pi/3}{\frac{sinx(3-4sin^{2}x)}{-cos^{3}xcos(x+\pi/6)}}=\\\lim_{x\to\pi/3}{\frac{sin3x}{-cos^{3}xcos(x+\pi/6)}}}\)

wykonujemy podstawienie \(\displaystyle{ t = x+\pi/6}\)

\(\displaystyle{ \lim_{t\to\pi/2}{\frac{sin(3t-\pi/2)}{-cos^{3}(t-\pi/6)cos(t)}}=\\\lim_{t\to\pi/2}{\frac{-cos3t}{-cos^{3}(t-\pi/6)cos(t)}}=\\\lim_{t\to\pi/2}{\frac{-cost(4cos^{2}t-3)}{-cos^{3}(t-\pi/6)cos(t)}}=\\\lim_{t\to\pi/2}{\frac{-(4cos^{2}t-3)}{-cos^{3}(t-\pi/6)}}=-24}\)