Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f: \RR ^{2} \rightarrow \RR\\
f(x,y) = \frac{ye^{ \frac{-1}{x ^{2} } } }{y ^{2} +e^{ \frac{-2}{x ^{2} } }}}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
oraz \(\displaystyle{ f(x,y)=0}\) dla \(\displaystyle{ x=0.}\)

Mam za zadanie znaleźć zbiór punktów ciągłości funkcji f. Tu mam zagwostkę, bo sugeruje się tym jak to się robiło dla funkcji jednej zmiennej czyli w wątpliwość poddaje tylko punkty postaci \(\displaystyle{ (0,y)}\). W konsekwencji chciałem policzyć granice:

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to(0,y) } f(x,y) = \frac{ye^{ \frac{-1}{x ^{2} } } }{y ^{2} +e^{ \frac{-2}{x ^{2} } }}= \frac{y\cdot 0}{y ^{2} } = 0 }\)

Wydawałoby się, że jest ciągła, ale mam spore wątpliwości czy dobrze się do tego zabieram, bo to jest zrobione zbyt łatwo. Czy mógłbym kogoś prosić o potwierdzenie czy takie coś wystarczy albo jakiś schemat bądź podpowiedź jak mam zacząć z tym walczyć?

edit1 Czy w takim rozrachunku powyższe rozwiązanie jest zrobione dobrze częściowo (po dodaniu adnotacji, że \(\displaystyle{ y \neq 0}\) i dokończenie będzie polegać na policzeniu \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to (0,0)} f}\) ?

Zapis \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,y)} f(x,y)}\) jest dość niefortunny i nie wiem dokładnie o co Ci chodziło - trochę wygląda jakbyś chciał ustalić drugą współrzędna, a z pierwszą zbiegał do \(\displaystyle{ 0}\). Wtedy nie jest dobrze, bo liczysz granicę tylko na poziomym odcinku, a przecież opcji dojścia do punktu \(\displaystyle{ (0,y)}\) jest dużo, dużo więcej.

Nie mniej jednak, przy poprawnym zapisie, niewiele się zmienia. Ustalmy punkt \(\displaystyle{ (0,a)}\) dla \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i pisząc niemalże to samo

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,a) } f(x,y) = \frac{a\cdot 0}{a^2 + 0} = 0}\),

bo tu nie ma żadnego symbolu nieoznaczonego. Warto dodać, że może się tak zdażyć, że podchodząc z \(\displaystyle{ (x,y)}\) do punktu \(\displaystyle{ (0,a)}\), pierwsza współrzędna się wyzeruje i wtedy funkcja ma inny wzór (np. jakbyś szedł po takiej spirali, czy coś). Ale tutaj nie to jest problem, bo wtedy \(\displaystyle{ f(x,y) = 0}\).

Inaczej jest z punktem \(\displaystyle{ (0,0)}\), bo bezpośrednie wstawienie do wzoru, daje symbol nieoznaczony. Jeśli się nie mylę, granica nie istnieje i nietrudno wskazać dwa ciągi \(\displaystyle{ (x_n, y_n)}\) oraz \(\displaystyle{ (x'_n, y'_n)}\), które o tym świadczą.