Matematyka.pl

Witajcie nie umiem wogółe badać tych granic, pomózcie mi z tym z góry thx


oto moje granice

a]\(\displaystyle{ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}}\)

b]\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x}}\)

c]\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{sin5x}{3x}}\)

prosze mi napisać na co mam zwracać szczególna uwage, co mam sie nauczyć (wzrowy itd)

a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x+\frac{1}{2})(x-1)}=\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x+\frac{1}{2}}=2*\frac{2}{3}=\frac{4}{3}}\)

el payaco pisze:a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x+\frac{1}{2})(x-1)}=\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x+\frac{1}{2}}=2*\frac{2}{3}=\frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ 2x^{2} - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)}\)
więc granica wynosić będzie \(\displaystyle{ \tfrac{2}{3}}\)

ale ja mam zbadac lewo i prawo stronnie

[ Dodano: 31 Styczeń 2007, 11:57 ]
a co z reszta tak samo trzeba postepywać??

Skoro istnieje granica funkcji w punkcie to granice: lewo- i prawostronna w tym punkcie są równe tej granicy.

w podpunkcie c granicą bedzie \(\displaystyle{ \frac{5}{3}}\)??????

tak.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\frac{3}{5} 5x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{5}{3}\cdot \frac{\sin 5x}{5x}\right) = \frac{5}{3}}\)

b)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x} = \lim_{x\to0}\left(\frac{\sqrt{1-2x-x^{2}}-(1+x)}{x}\cdot \frac{\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + (1 + x)}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + (1 + x)}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x - x^{2} - (x^{2} + 2x + 1)}{x(\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + (1 + x))} =\\= \lim_{x \to 0} \frac{-x(4 + 2x)}{x(\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + (1 + x))} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{4 + 2x}{\sqrt{1 - 2x - x^{2}} + (1 + x)}\right) = -\frac{4}{2} = -2}\)

a mam jeszcze takie małe pytanko ja jest x sam w mianowniku to zawsze rozszezamy przez licznik?? i napisz mi jeszcze gdzie tu sie zaznacza ze ty mi pomogłes )

W przykładzie C zawsze możesz skorzystać z : \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}\)

Nie. W podpunkcie b pomnożył i podzielił przez licznik, żeby pozbyć się tego 'badziewia' z licznika.

rozszerzamy przez to co może się uprościć ze wzorów skróconego mnożenia

a co do drugiego pytania to zobacz tutaj