Matematyka.pl

Obliczymy granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x) + 2\arctg(3x) +3x^2}{\ln(1 +3x +\sin^2(x)) + xe^{x}}.}\)

Licznik i mianownik dążą do zera, więc można by było zastosować regułę de l'Hospitala.

Licznik i mianownik wyglądają dość nieprzyjemnie i nie należy się spodziewać, że po zróżniczkowaniu będą wyglądały lepiej.

Wobec tego powstaje pytanie, jak szybko licznik i mianownik dążą do zera ?

Dokładniej dla jakiej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n }\) granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x) + 2\arctg(3x)+3x^2}{x^{n}} }\) jest skończona i różna od zera.

Jeśli taka liczba \(\displaystyle{ n }\) istnieje, to mówimy, że licznik dąży do zera tak szybko jak mianownik.

Można tu zauważyć, że \(\displaystyle{ n = 1.}\)

Dlatego rozwijamy w szereg Taylora funkcje występujące w liczniku i mianowniku ilorazu z dokładnością do pierwszego składnika:

\(\displaystyle{ \sin(2x) = 2x + r_{1}(x), }\) przy czym \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{r_{1}(x)}{2x} = 0,}\)

\(\displaystyle{ \arctg(3x) = 3x + r_{2}(x), \ \ \lim_{x\to 0} \frac{r_{2}(x)}{3x} = 0, }\)

\(\displaystyle{ \ln(1+x) = x + r_{3}(x), \ \ \lim_{x\to 0} \frac{r_{3}(x)}{x} = 0, }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \ln( 1 + (3x +\sin^2(x)) = 3x + \sin^2(x) + r_{4}(x), \ \ \lim_{x\to 0} \frac{r_{4}(x)}{3x} = 0,}\)

\(\displaystyle{ xe^{x} = x + r_{5}(x), \ \ \lim_{x\to 0} \frac{r_{5}(x)}{x} = 0.}\)

Podstawiając rozwinięcia, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x) + 2\arctg(3x) +3x^2}{\ln(1 +3x +\sin^2(x)) + xe^{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{2x + r_{1}(x) + 6x + 2r_{2}(x) + 3x^2 }{3x + \sin^2(x) + r_{4}(x) + x + r_{5}(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{8x +3x^2 + r_{1}(x) + 2r_{2}(x)}{4x + \sin^2(x) + r_{4}(x) +r_{5}(x)} = \\ }\)

\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 0} \frac{8 +3x + \frac{r_{1}(x)}{x} + \frac{r_{2}(x)}{x}}{4 + \frac{\sin^2(x)}{x} + \frac{r_{4}(x)}{x} + \frac{r_{5}(x)}{x}} = \frac{8 + 0 + 0+ 0}{4 + 0\cdot 1 + 0 +0} = \lim_{x\to 0} \frac{8 + 0 + 0 + 0 + 0}{ 4 +0 +0 + 0 }= 2. }\)

W tym przykładzie pojawiło się wiele funkcji: \(\displaystyle{ r_{1}(x), r_{2}(x), r_{3}(x), r_{4}(x), r_{5}(x),}\) których dokładne definicje nie miały tu znaczenia. Istotne było to, że po podzieleniu przez funkcję \(\displaystyle{ x }\) granica każdej z nich, przy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0 }\) była równa \(\displaystyle{ 0.}\)

Zwykle nie wprowadza się tylu oznaczeń. Stosuje się symbol \(\displaystyle{ o(g(x)) }\) (czytamy "o małe \(\displaystyle{ g(x)"}\)) Lewa Landaua (wybitnego fizyka teoretyka), przyjmując, że \(\displaystyle{ f(x) = o(g(x)) }\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lim_{x\to p } \frac{f(x)}{g(x)} = 0.}\)

Możemy więc napisać:

\(\displaystyle{ \sin(2x) = 2x + o(2x)) , \ \ \arctg(3x) = 3x + o(3x), \ \ \ln(1 + 3x +\sin^2(x)) = 3x + o(3x), \ \ xe^{x} = x + o(x).}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x) + 2\arctg(3x) +3x^2}{\ln(1 +3x +\sin^2(x)) + xe^{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{2x + o(2x)+6x + 2o(3x) + 3x^2}{3x + \sin^2(x) + o(3x)+ x + o(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{8x + 3x^2 + o(2x) + 2o(3x) }{4x + \sin^2(x) + o(3x) +o(x)}. }\)

Uwzględniając własności symbolu \(\displaystyle{ o, \ \ o(c f(x)) = o(f(x)), \ \ o(f(x)) +o(cf(x)) + o(f(x)), \ \ c = const.}\) które wynikają wprost z jego określenia, mamy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x) + 2\arctg(3x) +3x^2}{\ln(1 +3x +\sin^2(x)) + xe^{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{8 + \frac{o(x)}{x}}{4 + \frac{o(x)}{x}} = \frac{8 +0}{4 +0} = 2.}\)

W ten sposób łatwiej jest operować wzorem Taylora, obliczając granice. Należy jednak pamiętać, że symbol \(\displaystyle{ o }\) nie jest symbolem oznaczającym funkcję - jest skrótem zapisu , że iloraz dwóch funkcji jest zbieżny do zera.

Ten pomysł przedstawienia sposobu obliczania granic przy użyciu szeregu Taylora pochodzi od Pana dr Michała Krycha, który na wykładach obliczał granicę trudniejszą od granicy autora tego postu.

janusz47 pisze: ↑4 lut 2023, o 20:30 Obliczymy granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x) + 2\arctg(3x) +3x^2}{\ln(1 +3x +\sin^2(x)) + xe^{x}}.}\)

Licznik i mianownik dążą do zera, więc można by było zastosować regułę de l'Hospitala.

Licznik i mianownik wygląają dość nieprzyjemnie i nie należy się spodziewać, że po zróżniczkowaniu będą wyglądały lepiej.

Wobec tego powstaje pytanie, jak szybko licznik i mianownik dążą do zera ?

Dokładniej dla jakiej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n }\) granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x) + 2\arctg(3x)+3x^2}{x^{n}} }\) jest skończona i różna od zera.

Jeśli taka liczba \(\displaystyle{ n }\) istnieje, to mówimy, że licznik dąży do zera tak szybko jak mianownik.

Można tu zauważyć, że \(\displaystyle{ n = 1.}\)

Jeżeli ktoś to łatwo widzi, to cały dalszy wywód o rozwinięciach Taylora jest zbędny.

Zwykle nie wprowadza się tylu oznaczeń. Stosuje się symbol \(\displaystyle{ o(g(x)) }\) (czytamy "o małe \(\displaystyle{ g(x)"}\)) Lewa Landaua (wybitnego fizyka teoretyka), przyjmując, że \(\displaystyle{ f(x) = o(g(x)) }\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \lim_{x\to p } \frac{f(x)}{g(x)} = 0.}\)

Lwa Landaua

Ten pomysł przedstawienia sposobu obliczania granic przy użyciu szeregu Taylora pochodzi od Pana dr Michała Krycha, który na wykładach obliczał granice trudniejsze niż przedstawiona przez autora tego postu.

Nie, ten pomysł był znany i używany długo przed tym, zanim zaczęto Ci wykładać matematykę

Zgadzam się z Twoimi uwagami. Chodziło mi o przedstawienie metody wykorzystania wzoru Taylora w obliczaniu nieskomplikowanej granicy funkcji.