Mam duży problem z takim zadaniem:
Dla jakich \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\) istnieje takie \(\displaystyle{ L >0}\), że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left| x_{1}^{a} - x_{2}^{a} \right| \leq L \cdot \left|x_{1} - x_{2} \right|}\) dla \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} > 0.}\)
Nie mieliśmy jeszcze pochodnych, więc nie mogę Ich użyć do rozwiązania tego zadania. Zakładam, że istnieje takie \(\displaystyle{ L}\) dla \(\displaystyle{ a \in [0, 1]}\), ale nie mogę jakoś dowieść, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ L}\) dla \(\displaystyle{ a}\) spoza tego przedziału, jeśli ktoś ma jakiś pomysł, to z chęcią go usłyszę.
Warunek Lipschitza dla funkcji potęgowej
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 28 lip 2022, o 16:25
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 11 razy
Warunek Lipschitza dla funkcji potęgowej
Ostatnio zmieniony 23 lis 2022, o 20:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Warunek Lipschitza dla funkcji potęgowej
Badaj, gdzie te funkcje mają bardzo stroma sieczne lub styczne, np dla:
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{2} }\) stromizna jest w przedziale:
\(\displaystyle{ \left(0;c \right] }\)
\(\displaystyle{ a= 2 }\) stromizna jest w przedziale:
\(\displaystyle{ \left[c; \infty \right) }\)
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{2} }\) stromizna jest w przedziale:
\(\displaystyle{ \left(0;c \right] }\)
\(\displaystyle{ a= 2 }\) stromizna jest w przedziale:
\(\displaystyle{ \left[c; \infty \right) }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 28 lip 2022, o 16:25
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 11 razy
Re: Warunek Lipschitza dla funkcji potęgowej
Właśnie, jeśli a=0.5 to czy wtedy istnieje takie L? Jest bardzo stroma na początku, lecz później się normuje, nie wiem jak to zinterpretować
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Warunek Lipschitza dla funkcji potęgowej
To, że funkcja jest na kawałku dziedziny lipschitzowska nie oznacz, że jest taka wszędzie.
Czy istnieje taka stała `L`, że `\sqrt{x}-\sqrt{0}<L(x-0)` dla wszystkich dodatnich `x`?
Czy istnieje taka stała `L`, że `\sqrt{x}-\sqrt{0}<L(x-0)` dla wszystkich dodatnich `x`?