Matematyka.pl

Witam.
Jak uzasadnić, że nie istnieje taka granica:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } e ^{x} (1+\sin{x})}\)
Z def. Heinego mogę wziąć ciąg \(\displaystyle{ x _{n}=2n \pi}\) i \(\displaystyle{ x'_{n}= \frac{3}{2} \pi +2n\pi}\), dla pierwszego nie ma problemu, ale dla drugiego wychodzi symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \infty\cdot0}\). Jak to ugryźć?
Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc.

Nie wychodzi żaden symbol nieoznaczony, tylko zero. Co innego wyrażenie, które dąży do zera, co innego wyrażenie, które jest zerem (porównanie z życia codziennego: człowiek, któremu po prostu parę rzeczy nie wyszło i w którego życiu pojawiła się jakaś niezwykle negatywna tendencja, to ciąg, który dąży do zera, Premislav to ciąg stale równy zero).

Dla \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2}\pi+2n\pi}\) mamy \(\displaystyle{ 1+\sin x=0}\).
\(\displaystyle{ e^{\frac 3 2\pi+2n\pi}\cdot 0=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\).

A to nie jest tak, że w granicach właśnie mamy zazwyczaj właśnie ciągi/funkcje dążące do zera, a nie stale równe zero? Jakie zastosowanie ma w takim razie symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\)?

A to nie jest tak, że w granicach właśnie mamy zazwyczaj właśnie ciągi/funkcje dążące do zera, a nie stale równe zero?

Tak, ale co to ma do rzeczy w tym przykładzie? „Zazwyczaj" cokolwiek różni się od „zawsze". Nie ucz się, proszę, prostackich skojarzeń typu „zwykle to jest tak", bo w ten sposób nie osiągniesz zrozumienia.
No, tutaj mamy jakieś coraz większe liczby pomnożone przez zero, a nie przez coś, co dąży do zera.

Na przykład jeśli masz ciąg \(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} \cdot e^n}\), to masz do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym typu \(\displaystyle{ \left[ 0\cdot \infty\right]}\), ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac 1 n=0, \lim_{n \to \infty } e^n=+\infty}\). Wyrażenia nieoznaczone służą wyróżnieniu sytuacji, w których nie możemy po prostu skorzystać z twierdzenia o arytmetyce granic.
Ale już np. taki ciąg \(\displaystyle{ a_n=0\cdot e^n, \ n=1,2,3\ldots}\) jest stale równy zero, nie ma tu żadnego wyrażenia nieoznaczonego. I u Ciebie też.

Z tym "zwykle" to miałem na myśli to, że nigdy się jeszcze nie spotkałem z ciągiem stale równym 0. Teraz rozumiem, po prostu nie zauważyłem, że tutaj nie korzystam z twierdzenia o arytmetyce granic i zastosowałem wyrażenie nieoznaczone tam, gdzie nie powinienem. Dziękuję za wytłumaczenie.