Matematyka.pl

Oblicz granice funkcji :

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\tg x- \sin x}{x^3}}\)

Wychodzi 1/2.

Wlasnie sie ucze na kolosa z granic wiec z przyjemnoscia policzylem ta granice ale malo jest czasu wiec napisze w skrocie jak to zrobic zamiast sie bawic z tymi wzorkami.

Zamieniasz tgx na sinx/cosx, wyciagasz sinx przed nawias, a to co zostalo w nawiasie sprowadzasz do wspolnego mianownika. Teraz rozszerzasz ulamek przez 1 + cosx i korzystasz w liczniku z jedynki trygonometrycznej. Nie pozostaje nic innego jak policzyc granice bo juz nie ma zadnych symboli nieoznaczonych.

Prosze podać to rozwiązanie bo coś mi nie wychodzi

Teraz juz mam wiecej czasu to sie pobawie i to napisze

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\tg x- \sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin}{\cos x}- \sin x}{x^3} =\lim_{x\to 0}\frac{\sin x (\frac{1}{\cos x}- 1)}{x^3}= \lim_{x\to 0}\frac{\sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x}}{x^3} =\lim_{x\to 0}\frac{\sin x (1 - \cos x)}{\cos x x^3} \frac {1 + \cos x}{1 + \cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x (1 - \cos^2 x)}{\cos x x^3 (1 + \cos x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^3 x}{\cos x x^3 (1 + \cos x)}}\)

I z tego juz widac jaki jest wynik.