Matematyka.pl

witam,

czy mozre mi ktos wytlumaczyc dlaczego to rozwiazanie jest poprawne???
to jest czesc zadania z obliczenia szeregu, mianowicie obliczenie limes...

\(\displaystyle{ \lim_{ \to } \infty = \frac{a _{n+1} }{a_{n} }= \frac{3 ^{n+1} }{2(n+1)}* \frac{2n}{3 ^{n} }= \frac{3n}{n+1}= 3...}\)

dlaczego z licznika wychodzi 3n a z mianownika n+1 i dlaczego to sie rowna 3???

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} = \frac{a _{n+1} }{a_{n} }=\lim_{n \to \infty} \frac{3 ^{n+1} }{2(n+1)}* \frac{2n}{3 ^{n} }=\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{3^n} * \frac{2n}{2(n+1)}=\lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+1}}\)
W tym momencie można hospitalizować:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n+1}=\lim_{n \to \infty} \frac{3}{1} = 3}\)

rozumiem ze mnozy sie "na krzyz": \(\displaystyle{ \frac{3 ^{n+1} }{3 ^{n} } * \frac{2n}{2(n+1)}}\)
ale nie rozumiem dlaczego z tego mnozenia wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3n}{n+1}}\)

a przy hospitalizowaniu po prostu opuszcza sie "n"
wybacz, ze tak dziecinnie pisze ale chcialabym to zrozumiec...

Dlaczego 3?
\(\displaystyle{ \frac{3^{n+1}}{3^n}=3^{n+1-n}=3}\)
Dlaczego \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}}\)?

W wyrażeniu \(\displaystyle{ \frac{2n}{2(n+1)}}\) skracają się 2.

"a przy hospitalizowaniu po prostu opuszcza sie "n" "
Nie na tym to polega. Poszukaj sobie coś o regule de L'Hospitala jeśli chcesz. Możesz też skorzystac z innego twierdzenia:
Jeżeli:
\(\displaystyle{ a_k \neq 0 \wedge b_k \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_k n^k+a_{k-1}n^{k-1}+a_{k-2}n^{k-2}+...+a_0}{b_k n^k+b_{k-1}n^{k-1}+b_{k-2}n^{k-2}+...+b_0} = \frac{a_k}{b_k}}\)

dzieki , braki ze sredniej wychodza...