Obliczyć granicę funckji metodą L'Hospitala

dupree · Post autor: **dupree** » 9 gru 2010, o 15:16

Niestety nie potrafię tego rozpisać... :/

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\1}(\frac{1}{\ln x}-\frac{x}{\ln^{2} x}}\))

ps x dąży do 1

ares41 · Post autor: **ares41** » 9 gru 2010, o 15:18

\(\displaystyle{ \frac{1}{\ln x}-\frac{x}{\ln^{2} x}= \frac{\ln{x}-x}{\ln^2{x}}}\)

dupree · Post autor: **dupree** » 9 gru 2010, o 15:34

\(\displaystyle{ \lim_{x\to1}(\frac{1}{\ln x}-\frac{x}{\ln^{2} x}) = \lim_{x\to1}(\frac{\ln x - x}{\ln^{2} x}) = \lim_{x\to1}(\frac{\frac{1}{x} - 1}{2 * \frac{1}{x}}) = \frac{0}{2} = 0}\)

czy to będzie tak?

ares41 · Post autor: **ares41** » 9 gru 2010, o 15:38

Nie.
\(\displaystyle{ (\ln^2{x})'=(\ln{x} \cdot \ln{x})'}\)
\(\displaystyle{ [f(x) \cdot g(x)]'=...}\)

dupree · Post autor: **dupree** » 9 gru 2010, o 15:54

\(\displaystyle{ \lim_{x\to1}(\frac{1}{\ln x}-\frac{x}{\ln^{2} x}) = \lim_{x\to1}(\frac{\ln x - x}{\ln^{2} x}) = \lim_{x\to1}(\frac{\frac{1}{x} -x}{2\ln x * \frac{1}{x} }) = \lim_{x\to1}(\frac{\frac{-1}{x^{2}}}{2*\frac{1}{x}* \frac{1}{x^{2}} }) = - \frac{1}{2}}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 9 gru 2010, o 15:59

Dalej źle.
\(\displaystyle{ (x)'=1}\)

odnaliab · Post autor: **odnaliab** » 9 gru 2010, o 15:59

W porządku, tylko skąd na końcu ten \(\displaystyle{ \frac{1}{x^{2}}}\) w mianowniku? Bez kwadratu powinno być.

Pamiętaj też, że

(f(x)*g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

ares41 · Post autor: **ares41** » 9 gru 2010, o 16:00

odnaliab pisze:W porządku

Na pewno?

odnaliab · Post autor: **odnaliab** » 9 gru 2010, o 16:03

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1}( \frac{ \frac{1}{x}-1 }{2lnx* \frac{1}{x} })=\lim_{ x\to 1} \frac{ \frac{-1}{x^{2}} }{2* \frac{1}{x}* \frac{1}{x}+2lnx* \frac{-1}{x^{2}} } = -\frac{1}{2}}\)

ares41 · Post autor: **ares41** » 9 gru 2010, o 16:04

Ta granica to \(\displaystyle{ - \infty}\)

dupree · Post autor: **dupree** » 9 gru 2010, o 16:22

\(\displaystyle{ \lim_{x\to1}(\frac{\frac{1}{x} -x}{2\ln x * \frac{1}{x} }) = \lim_{x\to1}(\frac{\frac{-2}{x^{2}} -1}{2 \frac{1}{x}*\frac{1}{x} + 2 \ln x * \frac{1}{x^{2}} }) =\lim_{x\to1}(\frac{\frac{-2}{x^{3}} }{ \frac{-4}{x^{3}} + \frac{2}{2x^{2}} }) = \frac{2}{3}}\)

??

ares41 · Post autor: **ares41** » 9 gru 2010, o 16:24

Ta granica raczej nie pójdzie z l'Hospitala ( dlaczego?).
Zastosuj zwykłe podstawienie.

odnaliab · Post autor: **odnaliab** » 9 gru 2010, o 16:24

Faktycznie granica to \(\displaystyle{ - \infty}\) gdyż od sprowadzenia do wspólnego mianownika nie można już użyć L'Hospitala.