Matematyka.pl

ostatnio moj wykladowca od wdtmu przedstawil ciekawy argument za tym, ze \(\displaystyle{ 0^0=1}\) na gruncie teorii mnogosci. otoz rozwazmy \(\displaystyle{ \emptyset^\emptyset}\). jest to zbior wszystkich funkcji ze zbioru pustego w zbior pusty. a ile takich funkcji jest? jedna - funkcja pusta. to bylo tak off-topic.
jak chodzi o dowodzenie z definicji, ze ta granica nie istnieje to tak: w niej stoi "dla kazdego ciagu zbieznego do zera cos tam cos tam". no to wezmy sobie ciag \(\displaystyle{ a_n = - { 1 \over n \pi }}\). i jak ktos mi policzy \(\displaystyle{ a_1^{a_1}}\) to stawiam piwo.

Mam omamy, czy to zespolone jest?
\(\displaystyle{ a_{1}= (-\pi)^{\frac{1}{\pi}}}\) ?

nie jest. jakby sie uprzec, to to jest zbior o elementach zespolonych. tyle, ze nic o nim nie wiadomo. ale my nie wychodzimy poza rzeczywiste.
to sa wszystko kwestie umow, zapisu itp. z nikim sie nie bede na ten temat klocil, bo i tak nikt nie wyjdzie na swoje.

No zgadzam się - jest to zbiór mający na przemian elementy z zespolonych i rzeczywistych.
Gdyby zrobić z tego ciąg, to ogólnie granicy by nie miał, ale że tak powiem, można by wyróżnić granicę dla parzystych i nieparzystych elementów .
Zresztą, nieważne, każdy wierzy w co chce, chyba, że inny go przekona

\(\displaystyle{ \large \lim_{x\to0}x^x = \lim_{n\to\infty}(1/n)^{1/n} = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1}\)

Jest to granica lewostronna funkcji: f(x) = x^x, dla x > 0.
Funkcja ta nie istnieje w zerze, dlatego ten wynik nie oznacza, że 0^0 = 1.
Granice obustronne musimy liczyć, gdy chcemy sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie.

Z tymi pi - można to policzyć:

\(\displaystyle{ \large (-\frac{1}{n\pi})^{-\frac{1}{n\pi}} = (n\pi)^{\frac{1}{n\pi}}e^{-i\frac{2k+1}{n}}\), k = 0,1,2,...

Jest to jakaś funkcja wieloznaczna - ze wzrostem n, też mogłaby zbiegać do 1,
ale niestety, to k może być porównywalne z n, i dlatego nie ma granicy (jeśli się uprzeć, to granicą jest tu okrąg o środku 0,0 i promieniu 1)

Fibik pisze:jeśli się uprzeć, to granicą jest tu okrąg o środku 0,0 i promieniu 1

to zdanie jest niescisle sformulowane. ciag ma co najwyzej jedna granice. a nawet jesli by sie tego sformulowania nie czepiac, to to i tak caly okrag nie bedzie - jedynie zbior gesty w nim. zbior punktow o wymiernym i niezerowym argumencie.

Fibik pisze:Granice obustronne musimy liczyć, gdy chcemy sprawdzić ciągłość funkcji w punkcie.

granice obustronne musimy liczyc, gdy chcemy sprawdzic, czy funkcja ma granice w punkcie.