Obliczanie granic ciągu przy użyciu tw. o trzech ciągach

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Veanty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 25 lis 2022, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Obliczanie granic ciągu przy użyciu tw. o trzech ciągach

Post autor: Veanty »

Muszę obliczyć
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n\left( \frac{1}{n^{2}+1} + \frac{1}{n^{2}+2} + ... + \frac{1}{n^{2}+n} \right)}\)
Domyślam się, że trzeba użyć przy tym twierdzenia o trzech ciągach.
Tylko nie wiem, jak mają wyglądać \(\displaystyle{ a_{n}}\) i \(\displaystyle{ c_{n}}\) żeby zachodziło \(\displaystyle{ a_{n} \le b_{n} \le c_{n}}\)
Zastanawiałem się nad tym:
\(\displaystyle{ a_{n} = \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{n^{2}+2} + \frac{1}{n^{2}+4} + ... + \frac{1}{n^{2}+2n} \right) }\)
\(\displaystyle{ c_{n} = \lim_{n \to \infty} n\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} \right) }\)
Ostatnio zmieniony 1 lut 2023, o 14:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Obliczanie granic ciągu przy użyciu tw. o trzech ciągach

Post autor: Jan Kraszewski »

Veanty pisze: 1 lut 2023, o 14:20 Zastanawiałem się nad tym:
\(\displaystyle{ a_{n} = \red{\lim_{n \to \infty} }n \left( \frac{1}{n^{2}+2} + \frac{1}{n^{2}+4} + ... + \frac{1}{n^{2}+2n} \right) }\)
\(\displaystyle{ c_{n} = \red{\lim_{n \to \infty}} n\left( \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} \right) }\)
No na pewno nie tak, przecież tam nie może być granic...

Ciąg \(\displaystyle{ c_n}\) to dobry pomysł. Natomiast ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest do niczego, bo i tak nie potrafisz policzyć jego granicy. Zrób podobnie, jak z oszacowaniem z góry - wybierz najmniejszy ze składników sumy i oszacuj pozostałe z dołu przez niego.

JK
Veanty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 25 lis 2022, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Obliczanie granic ciągu przy użyciu tw. o trzech ciągach

Post autor: Veanty »

Rzecz w tym, że nie do końca wiem, jak zrobić to oszacowanie z dołu. U góry przyjąłem taki tok myślenia, że im mniejsza liczba mianownika tym ułamek jest większy. Na dole więc, mianownik musi być większy od tego w \(\displaystyle{ b_{n}.}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Obliczanie granic ciągu przy użyciu tw. o trzech ciągach

Post autor: Jan Kraszewski »

Veanty pisze: 1 lut 2023, o 16:24 Rzecz w tym, że nie do końca wiem, jak zrobić to oszacowanie z dołu.
No przecież Ci napisałem:
Jan Kraszewski pisze: 1 lut 2023, o 15:02wybierz najmniejszy ze składników sumy i oszacuj pozostałe z dołu przez niego.
JK
ODPOWIEDZ