Oblicz granicę ciągu:
-
WavyDrip
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 11 gru 2022, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 5 razy
Oblicz granicę ciągu:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{3 ^{n}+4 ^{n} }{3 ^{n}+2 } } }\)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Oblicz granicę ciągu:
A umiesz policzyć granice \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^n+2} }\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^n+4^n} }\) z osobna? Bo korzystając z nich oraz z twierdzeń o arytmetyce granic można policzyć granicę z zadania.
-
WavyDrip
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 11 gru 2022, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 29
- Podziękował: 5 razy
Re: Oblicz granicę ciągu:
Wiem że można rozdzielić tę granicę na dwie granice i granicę z licznika policzyć za pomocą twierdzenia o trzech ciągach, jednakże nie jestem pewien co do wyrażenia w mianowniku. Nie wiem w jaki sposób zastosować te twierdzenie w sytuacji gdy liczba 2 nie jest podniesiona do n-tej potęgi.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Oblicz granicę ciągu:
Wtedy jest nawet łatwiej:
\(\displaystyle{ 3=\sqrt[n]{3^n} \le \sqrt[n]{3^n+2} \le \sqrt[n]{3^n+3^n}= 3 \sqrt[n]{2}\to 3. }\)