Matematyka.pl

Dostałem do rozwiązania takie zadanie
Zbadać jednostajną ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR,\ f(x)= e^{-2x}}\)


Moja próba rozwiązania jest następująca

Z def. wiemy że żeby f była jednostajnie ciągła musi zachodzić
\(\displaystyle{ \forall \epsilon >0 \exists \delta > 0 \forall x,y \in \RR}\) \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \Rightarrow \left| f(x)-f(y)\right| <\epsilon}\)

Niech \(\displaystyle{ \epsilon = 1}\) oraz \(\displaystyle{ x\equiv x+2}\) i \(\displaystyle{ y\equiv x}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \left| f(x+2)-f(x) \right| =\left| \frac{1}{e^x+2}- \frac{1}{e^x} \right|= \frac{1}{e^x}\left| \frac{1}{e^2}- 1 \right| < \epsilon}\)

zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon}\) ta nierówność miałaby by zajść a to jest niemożliwe bo nadal x jest dowolne ,na przykład dla \(\displaystyle{ \epsilon =1}\) moglibyśmy tak dobrać x żeby nierówność nie wychodziła(mamy pewność że znajdziemy takie x bo zbiór wartości\(\displaystyle{ f(x)}\) to \(\displaystyle{ (0, + \infty )}\)). I tutaj moje pytanie, czy taka sprzeczność wystarcza by móc zakończyć zadanie i powiedzieć że funkcja ta nie jest jednostajnie ciągła?

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = e^{-2x} = \frac{1}{e^{2x}} }\) nie jest jednostajnie ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \RR.}\)

Dowód

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{e^{2x}} }\) nie jest jednostajnie ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \RR, }\) wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \bigvee_{\varepsilon >0} \bigwedge_{\delta>0} \bigvee_{x', x''\in \RR} ( |x' -x''|< \delta \vee \left|\frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x''}}\right| \geq \varepsilon }\)

Wystarczy dowieść, że drugi człon powyższej równoważności jest zdaniem prawdziwym.

W tym celu niech \(\displaystyle{ \varepsilon = 1, \ \ \delta }\) niech będzie dowolną liczbą dodatnią, \(\displaystyle{ x' = \ln\left(\frac{1}{2n}\right), \ \ x'' = \ln\left(\frac{1}{2n+1}\right).}\)

wtedy

\(\displaystyle{ 1) \ \ |x' - x''| = \left|\ln\left(\frac{1}{2n}\right) - \ln\left(\frac{1}{2n+1}\right)\right|= \left|\ln\left(\frac{2n+1}{2n}\right)\right| = \left|\ln\left(1 + \frac{1}{2n}\right)\right| < \delta.}\)

\(\displaystyle{ 2) \ \ \left|\frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x''}} \right| = \left |\frac{1}{\frac{1}{2n}} - \frac{1}{\frac{1}{2n+1}} \right| = |2n+1-2n|=1 \geq 1=\varepsilon, }\)

\(\displaystyle{ \left|\frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x''}} \right|\geq \varepsilon. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

janusz47 pisze: ↑13 gru 2023, o 16:04 Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = e^{-2x} = \frac{1}{e^{2x}} }\) nie jest jednostajnie ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \RR.}\)

Dowód

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{e^{2x}} }\) nie jest jednostajnie ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \RR, }\) wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \bigvee_{\varepsilon >0}\blue{ \bigwedge_{\delta>0} \bigvee_{x', x''\in \RR} ( |x' -x''|< \delta} \vee \left|\frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x''}}\right| \geq \varepsilon }\)

Z tej "definicji" wynika, że funkcja stała nie jest jednostajnie ciągła, bo wystarczy, że zostanie spełniony trywialny niebieski warunek.

No właśnie - w cytowanym przez a4karo fragmencie pomyliłeś alternatywę z koniunkcją.

JK

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = e^{-2x} = \frac{1}{e^{2x}} }\) nie jest jednostajnie ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \RR.}\)

Dowód

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{e^{2x}} }\) nie jest jednostajnie ciągła w zbiorze \(\displaystyle{ \RR, }\) wtedy i tylko wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \bigvee_{\varepsilon >0} \bigwedge_{\delta>0} \bigvee_{x', x''\in \RR} ( |x' -x''|< \delta \wedge \left|\frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x''}}\right| \geq \varepsilon }\)

Wystarczy dowieść, że drugi człon powyższej równoważności jest zdaniem prawdziwym.

W tym celu niech \(\displaystyle{ \varepsilon = 1, \ \ \delta }\) niech będzie dowolną liczbą dodatnią, \(\displaystyle{ x' = \ln\left(\frac{1}{2n}\right), \ \ x'' = \ln\left(\frac{1}{2n+1}\right).}\)

wtedy

\(\displaystyle{ 1) \ \ |x' - x''| = \left|\ln\left(\frac{1}{2n}\right) - \ln\left(\frac{1}{2n+1}\right)\right|= \left|\ln\left(\frac{2n+1}{2n}\right)\right| = \left|\ln\left(1 + \frac{1}{2n}\right)\right| < \delta.}\)

\(\displaystyle{ 2) \ \ \left|\frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x''}} \right| = \left |\frac{1}{\frac{1}{2n}} - \frac{1}{\frac{1}{2n+1}} \right| = |2n+1-2n|=1 \geq 1=\varepsilon, }\)

\(\displaystyle{ \left|\frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x''}} \right|\geq \varepsilon. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

janusz47 pisze: ↑13 gru 2023, o 17:48 W tym celu niech \(\displaystyle{ \varepsilon = 1, \ \ \delta }\) niech będzie dowolną liczbą dodatnią, \(\displaystyle{ x' = \ln\left(\frac{1}{2n}\right), \ \ x'' = \ln\left(\frac{1}{2n+1}\right).}\)

wtedy

\(\displaystyle{ 1) \ \ |x' - x''| = \left|\ln\left(\frac{1}{2n}\right) - \ln\left(\frac{1}{2n+1}\right)\right|= \left|\ln\left(\frac{2n+1}{2n}\right)\right| =\red{ \left|\ln\left(1 + \frac{1}{2n}\right)\right| < \delta}.}\)

A dlaczego dla dowolnej delty i nieznanego \(\displaystyle{ n}\) (co zresztą sprawia, że definicje \(\displaystyle{ x',x''}\) są do niczego) miałaby zachodzić czerwona nierówność?

JK

Z definicji ciągowej nieciąglości jednostajnej funkcji.

Niech \(\displaystyle{ \varepsilon = 1 }\) i \(\displaystyle{ \delta }\) niech będzie dowolną liczbą dodatnią, \(\displaystyle{ x' = \ln\left(\frac{1}{2n}\right), \ \ x'' = \ln\left(\frac{1}{2n+1}\right), }\)

\(\displaystyle{ n }\) ma być dowolną liczbą naturalną tak dużą, aby \(\displaystyle{ \left|\ln\left(1 +\frac{1}{2n}\right)\right| < \delta. }\)

Podzieliłem licznik przez mianownik w wyrażeniu \(\displaystyle{ \left|\ln\left(\frac{2n+1}{2n}\right) \right |.}\)

To trzeba porządnie napisać, że dobierasz odpowiednie \(\displaystyle{ n}\) do ustalonej wcześniej delty (co zupełnie nie wynika z Twojego sformułowania dowodu), a dopiero potem dowodzisz, że zachodzi stosowna nierówność. Tymczasem u Ciebie to, co jest podstawą do ustalenia \(\displaystyle{ n}\), czyli początkiem uzasadnienia, pojawia się jako wniosek, o czym świadczy słówko "Wtedy".

JK

Drugi sposób

Przypuśćmy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{e^{2x}} }\) jest jednostajnie ciągła.

Wtedy prawdziwe jest zdanie

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon >0} \bigvee_{\delta >0} \bigwedge_{x', x'' \in \RR} \left( |x' -x'' |< \delta \Longrightarrow \left| \frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x''}}\right|< \varepsilon\right) \ \ (*)}\)

Stąd w szczególności otrzymamy zdanie prawdziwe, gdy za \(\displaystyle{ \varepsilon }\) weżmiemy \(\displaystyle{ 1.}\)

Temu zaś wybranemu epsilonowi odpowiada jakaś liczba \(\displaystyle{ \delta >0. }\)

Nie wnikamy, ile jest takich delt. Oznaczając jedną z nich, wszystko jedno jaką przez \(\displaystyle{ \delta_{1} }\), otrzymujemy zdanie prawdziwe

\(\displaystyle{ \bigwedge_{x'. x''\in \RR} \left(|x' - x''|< \delta_{1} \Longrightarrow \left|\frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x""}} \right|< 1 \right) \ \ (**)}\)

Skoro dla wszelkich dodatnich implikacja \(\displaystyle{ (**) }\) jest prawdziwa, więc w szczególności jest prawdziwa dla

\(\displaystyle{ x' = \ln\left(\frac{1}{2n}\right) , \ \ x''= \ln \left(\frac{1}{2n+1}\right), }\) gdzie \(\displaystyle{ n }\) jest dowolną ustaloną liczbą naturalną tak dużą, aby \(\displaystyle{ \left |\ln\left(1 + \frac{1}{2n}\right) \right|< \delta_{1}.}\)

Mamy
a)
\(\displaystyle{ |x' - x''| = \left|\ln\left(\frac{1}{2n}\right) - \ln\left(\frac{1}{2n+1}\right)\right| = \left |\ln\left(\frac{2n+1}{2n}\right)\right| = \left|\ln\left(1 + \frac{1}{2n}\right)\right| < \delta_{1}.}\)

b)
\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{e^{2x'}} - \frac{1}{e^{2x''}}\right| = \left|\frac{1}{\frac{1}{2n}} - \frac{1}{\frac{1}{2n+1}} \right|= |2n -2n+1)| = 1 }\)

Zatem następnik implikacji \(\displaystyle{ (**) }\) jest zdaniem fałszywym.

Wobec a) i b) implikacja \(\displaystyle{ (**) }\) jest zdaniem fałszywym, wbrew temu co było powiedziane wyżej.