Matematyka.pl

Mam taką oto bardzo prostą granicę. Da się ją jakoś ładniej rozpisać niż od razu wynik?

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } 2n + 11 = \infty}\)

Czy takie rozwiązanie jest poprawne, czy powinienem coś dodatkowo rozpisać?

Moim zdaniem nie ma potrzeby żadnego rozpisywania, to jest oczywiste.
Oczywiście da się to rozpisać z definicji granicy niewłaściwej, korzystając z analitycznego odpowiednika pewnika Archimedesa.

Dzięki. Nie chcę zakładać nowego tematu, a mam jeszcze jeden trywialny problem.

Mam taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{(4n-1)^{2}}{3n+7} = \lim_{n \to \infty} \frac{[n(4-\frac{1}{n})]^{2}}{n(3 + \frac{7}{n})} = \frac{4^{2}}{3} = \frac{16}{3}}\)

Dlaczego tak tego nie mogę rozwiązać? Oczywiście poprawny wynik to \(\displaystyle{ \infty}\) - mogę do tego dojść łatwo pozbywając się u góry potęgi i w liczniku miałbym \(\displaystyle{ 16n^{2} - 8n + 1}\), ale chciałbym rozwiązać te zadanie pozbywając się potęgi na samym końcu. Dlaczego mi nie wychodzi?

A co zrobiłeś z \(\displaystyle{ n^2}\) w liczniku i \(\displaystyle{ n}\) w mianowniku?
Przecież \(\displaystyle{ \frac{n^2}{n}=n}\).
\(\displaystyle{ \frac{[n(4-\frac{1}{n})]^{2}}{n(3 + \frac{7}{n})}= \frac{n^2\left( 4-\frac 1 n\right)^2 }{n\left( 3+\frac 7 n\right) }={\red n}\cdot \frac{\left( 4-\frac 1 n\right)^2 }{\left( 3+\frac 7 n\right) }}\)
gdyż dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\) i dowolnego \(\displaystyle{ n\in \ZZ}\) mamy \(\displaystyle{ (ab)^n=a^n b^n}\).

W przykładzie \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } \frac{\left( 4n-1\right)^2 }{3n+7}}\) wystarczy logicznie zauważyć zależność wynikającą ze stopnia licznika oraz mianownika. W przypadku gdy stopień licznika jest wyższy od stopnia mianownika wynikiem granicy będzie \(\displaystyle{ \infty}\) lub \(\displaystyle{ - \infty}\), gdy stopień licznika będzie równy stopniowi mianownika wynikiem granicy będzie jakaś liczba, natomiast gdy stopień mianownika będzie większy od stopnia licznika wynikiem granicy będzie zero. Opisane powyżej zależności można spokojnie stosować dla postaci \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\frac{w(n)}{p(n)}}\), gdzie \(\displaystyle{ w(n)}\) i \(\displaystyle{ p(n}\)) są wielomianami których dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich. Metody polegającej na wyłączeniu zmiennej z najwyższą potęgą tłumaczyć raczej nie muszę.