Matematyka.pl

Jak zbadać istnienie granic:

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {x^{3}}{2x^{2}+y^{4}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)}(xsin\frac {1}{x^{2}+y^{2}})}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}\) qslant ft| x \right|[/latex]

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)}(x\sin\frac {1}{x^{2}+y^{2}})}\) qslant ft| x \right|[/latex]

Q.

Dzięki za pomoc. Mam jednak jeszcze inne przykłady, w których nie mogę łatwo skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach...

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (2, 0)}\frac {sin(xy^{2})}{y^{2}+(x-2)^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {1}{x^{8}+y^{8}}e^{-\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}}\)

A w tym pierwszym z tego co liczyłam(po podstawieniu podanych ciagow) wychodza w obu przypadkach symbole nieoznaczone \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\). Czy to jest dobrze i czy na podstawie tego mozna stwierdzic ze granica nie istnieje?

Rzeczywiście wg odpowiedzi pierwsza granica nie istnieje, ale mam wątpliwości czy na podanej przez ciebie podstawie można tak wnioskować...

[ Dodano: 20 Kwietnia 2008, 19:09 ]
Udało mi się poradzić z poprzednimi granicami ale zostało mi jeszcze coś takiego:

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {1-cos(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\)

Wlasnie mialem takie zadanie na kole, czy granica tej funkcji to 1/2??

Podstawilem t=x^2+y^2 potem d'hopital no i mamy odpowiedz.

bez wykorzystania reguły de l'Hospitala
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1}\)
\(\displaystyle{ 1-\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {1-\cos(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {[1-\cos(x^{2}+y^{2})] [1+cos(x^{2}+y^{2})]}{(x^{2}+y^{2})^{2}[1+\cos(x^{2}+y^{2})]} = \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {1-\cos^2(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}[1+\cos(x^{2}+y^{2})]} = \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {\sin^2(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}[1+\cos(x^{2}+y^{2})]} = \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {1}{1+\cos(x^{2}+y^{2})} = \frac{1}{2}}\)

revell pisze: \(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (2, 0)}\frac {sin(xy^{2})}{y^{2}+(x-2)^{2}}}\)

Wiem, że granica nie istnieje, ale nie za bardzo wiem jak to wykazać.

Qń pisze:\(\displaystyle{ \lim_{(x, y) \to (0, 0)}\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}\) <-- nie istnieje
Wskazówka: przyjrzyj się zbieżnym do \(\displaystyle{ (0,0)}\) ciągom punktów: \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left(0,\frac{1}{n} \right)}\).


Q.

wolfram pokazuje, że ta pierwsza granica jest równa \(\displaystyle{ 0}\)
czy ktoś mi wyjaśni, która wersja jest dobra, i szerzej objaśni jak policzyć te granicę?