Matematyka.pl

uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją:

a) \(\displaystyle{ \lim_{ (x,y)\to(\Pi,0 } \frac{sin^{2}x}{y^2}}\)

proszę mi powiedzieć czy ja mogę ciąg podstawić za całe sinx? czy mogę tylko za x? bo obecnie widać że licznik dąży do zera zatem mogę zabrać ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i podstawić go za sinusa?

Niestety Twoje rozumowanie nie jest poprawne.

Należy wskazać dwa przykłady różnych ciągów t.że \(\displaystyle{ (x_n,y_n)\to (\pi, 0)}\) dla których ww. funkcja osiąga różne granice.
Proponuję:
1) \(\displaystyle{ (x_n,y_n)=(\pi+\frac{1}{n},\frac{1}{n})}\)
2) \(\displaystyle{ (x_m,y_m)=(\pi+\frac{1}{m},\frac{1}{m^2})}\)
Wówczas
ad.1) \(\displaystyle{ \left( \frac{\sin{(\pi+\frac{1}{n})}}{\frac{1}{n}}\right)^2=\left(\frac{\sin{\pi}\cos{\frac{1}{n}}+\cos{\pi}\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}\right)^2}\)
Składnik \(\displaystyle{ \sin{\pi}\cos{\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n\to \infty}\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\).
Zostaje składnik \(\displaystyle{ \left (\frac{-1 \cdot \sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}} \right)^2}\). Korzystając z faktu iż \(\displaystyle{ \frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}\to 1}\) dla \(\displaystyle{ n\to \infty}\), otrzymujemy ostatecznie, że granica dla ciągu z pierwszego przypadku wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

Na tym nie koniec. Należy wskazać, że w drugim przypadku, granica wyjdzie różna od 1.
Ale to już zostawiam dla Ciebie, metoda analogiczna jak w przytoczonym przeze mnie rozumowaniu.

Mimo że stary post, ale nie mogę udawać, iż nie widziałem pewnego błędu

alia pisze:Składnik \(\displaystyle{ \sin{\pi}\cos{\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n\to \infty}\) dąży do \(\displaystyle{ 0}\).

Od kiedy to wartość cosinusa w 0 to 0???