Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x}{x+y}\\ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy}{x^2+y^2}\\ \lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^3-y^2}{y-x}\\ \lim_{(x,y)\to(0,3)} \frac{sinx^2y}{x^2}}\)

w sumie mam pomysł tylko na ostatnią.
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,3)} \frac{sinx^2y}{x^2}=\lim_{(x,y)\to(0,3)} \frac{ysinx^2y}{yx^2}\\ t=x^2y \\
\lim_{(t,y)\to(0,3)} \frac{ysint}{t}= 3\cdot 1 = 3}\) można to tak? :>

1. weźmy podciągi \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n},0 \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n} , \frac{1}{n} \right)}\) granice są różne więc nie ma granicy
w drugim
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n} , \frac{1}{n} \right)}\) i \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{n} , -\frac{1}{n} \right)}\) także wychodzi różnie

a skąd wiesz kiedy trzeba udowadniać, że nie ma granicy, i jakie podciągi dobierać?

zazwyczaj liczysz granice iterowane
czyli na przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \lim_{y \to 0} \frac{x}{x+y}= \lim_{ x\to0 }\frac{x}{x}=1 \\
\lim_{y \to 0} \lim_{ x\to0 }\frac{x}{x+y}= \lim_{y \to 0}\frac{0}{y}=0}\)

Jeśli te granice wychodzą różne to to wystarcza, żeby stwierdzić, że granica w danym punkcie nie istnieje.

Jednak z drugiej strony, równość granic iterowanych nie dowodzi istnieniu granicy. Stąd bierze się te ciągi.

ok, ale w jaki sposób dobierać te ciągi?