Matematyka.pl

Witam,
Miałam kolokwium z funkcji i między innymi był taki przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }}\) \(\displaystyle{ \frac{e^{3} - e^{-3x} - 6x}{3x - sin3x}}\);

Prośba jest taka, aby mógł mi ktoś powiedzieć, gdzie jest błąd i dlaczego. Z góry dziękuję.

a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }}\) \(\displaystyle{ \frac{e^{2x} - e^{-2x} - 4x}{2x - sin2x}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }}\) \(\displaystyle{ \frac{e^{2x} - \frac{1}{e^{2x}} - 4x}{2x - sin2x}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 }}\) \(\displaystyle{ \frac{e^{2x} \cdot 2 - \frac{1}{e^{2x}} \cdot (-2) - 4}{2 - 2sin2x}}\) = \(\displaystyle{ - \frac{4}{2} = -2}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} 2*e^{2x} = 2 \\
\lim_{x \to 0} 2*e^{-2x} = 2}\)
Więc jak już pewnie widzisz, błąd jest w liczniku
\(\displaystyle{ 2+2-4 = 0}\)

EDIT : W mianowniku również błąd powinno być :
\(\displaystyle{ 2-2cos(2x)}\) A wtedy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (2-2cos(2x)) = 0}\)
I znowu dostajemy
\(\displaystyle{ [\frac {0}{0}]}\)

Więc możemy znowu zróżniczkować i dostajemy
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac {2e^{2x} +2e^{-2x} -4}{2 - 2cos(2x)} = [\frac {0}{0}] = \lim_{x \to 0} \frac {4e^{2x} - 4 e^{-2x}}{4sin(2x)} = [\frac {0}{0}] = \lim_{x \to 0} \frac {8e^{2x} + 8 e^{-2x}}{8cos(2x)} = \frac {16}{8} = 2}\)

Dziękuję ślicznie:)