Granica z definicji
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
Granica z definicji
Witam, proszę o sprawdzenie czy dobrze zrobiłem zadanie:
Wykazać na podstawie definicji że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } \frac{n^{2}+n-1}{n^{2}-n+1}=1\\
\\
\left| a_{n}-g\right| <\epsilon}\)
Po podstawieniu i przekształceniach otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^{2}-n+1}<\epsilon}\)
Zauważam że:
\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^{2}-n+1}=\frac{2n-2}{n^{2}-(n-1)}> \frac{2n-2}{n^{2}}> \frac{1}{n^{2}}}\)
dla każdego \(\displaystyle{ n>2}\)
Teraz mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}<\epsilon}\)
czyli
\(\displaystyle{ n> \sqrt{ \frac{1}{\epsilon} }}\)
zatem dla \(\displaystyle{ n_{0}>n}\) dla dowolnie małego dodatniego\(\displaystyle{ \epsilon}\) wyjściowa nierówność będzie spełniona.
W szczególności chodzi mi o to że mam profesora który bardzo się czepia zapisu więc proszę o zwrócenie mi uwagi jeśli za któryś zapis mógłby mi obciąć punkty na egzaminie.
Wykazać na podstawie definicji że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } \frac{n^{2}+n-1}{n^{2}-n+1}=1\\
\\
\left| a_{n}-g\right| <\epsilon}\)
Po podstawieniu i przekształceniach otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^{2}-n+1}<\epsilon}\)
Zauważam że:
\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^{2}-n+1}=\frac{2n-2}{n^{2}-(n-1)}> \frac{2n-2}{n^{2}}> \frac{1}{n^{2}}}\)
dla każdego \(\displaystyle{ n>2}\)
Teraz mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}<\epsilon}\)
czyli
\(\displaystyle{ n> \sqrt{ \frac{1}{\epsilon} }}\)
zatem dla \(\displaystyle{ n_{0}>n}\) dla dowolnie małego dodatniego\(\displaystyle{ \epsilon}\) wyjściowa nierówność będzie spełniona.
W szczególności chodzi mi o to że mam profesora który bardzo się czepia zapisu więc proszę o zwrócenie mi uwagi jeśli za któryś zapis mógłby mi obciąć punkty na egzaminie.
-
- Użytkownik
- Posty: 705
- Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 58 razy
Granica z definicji
to że \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}<\epsilon}\) nie oznacza że \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}<\frac{2n-2}{n^{2}-n+1}<\epsilon}\), profesor zapewne jest uważny to nie oznacza że się czepia ...
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
Granica z definicji
To szacowanie jest tylko dla uproszczenia rachunków i wydaje mi się że jest poprawne. A czemu wg Ciebie nie jest?
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
Granica z definicji
Zauważ, że źle zrozumiałeś to co ja zrobiłem.
\(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1} \wedge \frac{2n-2}{n^{2}-n+1} > \frac{1}{n^{2}} \Rightarrow \epsilon>\frac{1}{n^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1} \wedge \frac{2n-2}{n^{2}-n+1} > \frac{1}{n^{2}} \Rightarrow \epsilon>\frac{1}{n^{2}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
Granica z definicji
szprot_w_oleju napisał najpierw:
\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^2-n+1} < \epsilon}\)
po czym zauważył, że rzeczywiście dla \(\displaystyle{ n > 2}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^2-n+1} > \frac{1}{n^2}}\)
I czy to razem już rzeczywiście nie oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} < \frac{2n-2}{n^2-n+1} < \epsilon}\) ? jeśli \(\displaystyle{ b < c \wedge a<b \Leftrightarrow a<b<c}\)
\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^2-n+1} < \epsilon}\)
po czym zauważył, że rzeczywiście dla \(\displaystyle{ n > 2}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^2-n+1} > \frac{1}{n^2}}\)
I czy to razem już rzeczywiście nie oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} < \frac{2n-2}{n^2-n+1} < \epsilon}\) ? jeśli \(\displaystyle{ b < c \wedge a<b \Leftrightarrow a<b<c}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 705
- Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 58 razy
Granica z definicji
Ta implikacja jest prawdziwa ale nie zrozumiałeś tego co napisałeś w pierwszym poście :szprot_w_oleju pisze:Zauważ, że źle zrozumiałeś to co ja zrobiłem.
\(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1} \wedge \frac{2n-2}{n^{2}-n+1} > \frac{1}{n^{2}} \Rightarrow \epsilon>\frac{1}{n^{2}}}\)
A to prawdą nie jest co już zaznaczyłem powyżej.zatem dla \(\displaystyle{ n_{0}>n}\) dla dowolnie małego dodatniego \(\displaystyle{ \epsilon}\) wyjściowa nierówność będzie spełniona.
Nie wiem czy jesteś świadom tego ale masz udowodnić że zawsze znajdziesz \(\displaystyle{ N}\) że dla każdego \(\displaystyle{ n>N,}\) \(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
Granica z definicji
No i chyba znalazłem z tym że u mnie \(\displaystyle{ n}\) to u Ciebie\(\displaystyle{ N}\), a u mnie \(\displaystyle{ n_{0}}\) to u Ciebie \(\displaystyle{ n}\).
Ostatnio zmieniony 13 paź 2012, o 20:20 przez szprot_w_oleju, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
Granica z definicji
Ale przecież \(\displaystyle{ n}\) rośnie w nieskończoność, a \(\displaystyle{ \epsilon}\) to pewne liczba, więc zawsze można dobrać taki \(\displaystyle{ n}\), żeby \(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy
Granica z definicji
No czyli wyznaczyłem z szacowaniem \(\displaystyle{ n> \sqrt{ \frac{1}{\epsilon}}}\) i do tego mam dopisać komentarz słowny że zawsze można znaleźć \(\displaystyle{ n}\) spełniające tę nierówność bez względu na \(\displaystyle{ \epsilon}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 705
- Rejestracja: 10 lip 2009, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 58 razy
Granica z definicji
ale z tego nie wynika że takie n spełnia \(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1}}\). Zachodzi właśnie odwrotne wynikanie !!! (co pokazuje nawet ten kontrprzykład który podałem)
-
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 cze 2011, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PW
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 3 razy