Matematyka.pl

Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty} \left( \sum_{n=1}^{ \infty } \Bigl(\frac{x}{n} \Bigr)^n \right)^{1/x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0}\)


\(\displaystyle{ a^{0}=1}\) jeśli \(\displaystyle{ a\neq0}\)

jeśli \(\displaystyle{ a=0}\) to \(\displaystyle{ a^{0}}\) jest niezdefiniowane

Więc są 2 możliwości, ale jak popatrzymy na \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \Bigl(\frac{x}{n} \Bigr)^n \right)}\) to widać, że ta suma będzie równa 0 tylko jeśli \(\displaystyle{ x=0}\), ale skoro \(\displaystyle{ x}\) dąży do \(\displaystyle{ \infty}\) to suma zawsze będzie różna od 0.

Czyli odpowiedzą jest 1.

RafalMajewskiPL, rozumując analogicznie do Twojego można pokazać, że

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty} (1+n)^{\frac{1}{n}}=1}\),

a tymczasem jest

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty} (1+n)^{\frac{1}{n}}=e}\).

Bardzo łatwo pokazać, że rozważana granica istnieje:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{n}\right)^n\leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}=e^x-1}\),

i tym samym

\(\displaystyle{ 1\leq \lim_{ x \to \infty} \left( \sum_{n=1}^{ \infty } \Bigl(\frac{x}{n} \Bigr)^n \right)^{1/x}\leq \lim_{ x \to \infty} \left(e^x-1\right)^{\frac{1}{x}}=e}\)

Nie mam chwilowo pomysłu na wykazanie, że istotnie

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty} \left( \sum_{n=1}^{ \infty } \Bigl(\frac{x}{n} \Bigr)^n \right)^{1/x}=1}\).

yorgin, to na pewno nie będzie \(\displaystyle{ 1}\), gdyż szacowanie z dołu można poprawić z użyciem nierówności \(\displaystyle{ n! \ge \left(\frac n e\right)^n}\)
Stąd mamy dla \(\displaystyle{ x>0}\) co następuje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^n} \ge \frac{e^{-n}}{n!} \\ \frac{x^n}{n^n} \ge \frac{\left( \frac x e\right)^n }{n!}\\ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n^n} \ge \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\left( \frac x e\right)^n }{n!}=e^{\frac x e}-1\\\left( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n^n} \right)^{\frac 1 x} \ge \left( e^{\frac x e}-1\right)^{\frac 1 x} \rightarrow e^{\frac 1 e}}\)
Ostatni fakt łatwo wykazać z twierdzenia o trzech funkcjach.

yorgin pisze:można pokazać, że

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty} (1+n)^{\frac{1}{n}}=1}\),

a tymczasem jest

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty} (1+n)^{\frac{1}{n}}=e}\)

Nie, \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty} (1+n)^{\frac{1}{n}}=1}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = (1+x)^{\frac{1}{x}}}\) jest malejąca. Ponadto \(\displaystyle{ f(1)=2}\) oraz \(\displaystyle{ f(2017) = 1.00377998}\).

\(\displaystyle{ g = \lim_{x\to \infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{n}\right)^{n}\right)^{\frac{1}{x}}.}\)


\(\displaystyle{ g_{1}= \lim_{x\to \infty}\left(n\frac{x}{n^{n}}\right)^{\frac{1}{x}}=1.}\)

\(\displaystyle{ g_{2} = \lim_{x\to \infty}\left( n\frac{x^{n}}{1}\right)^{\frac{1}{x}}= 1.}\)

\(\displaystyle{ g_{1} \leq g \leq g_{2}.}\)

Z twierdzenia o granicy trzech funkcji

\(\displaystyle{ g =1.}\)

janusz47, napisałeś niestety kompletną nieprawdę (nie wiem, czy nie żartujesz). Jak pisałem, nietrudno pokazać, że granica ta jest nie mniejsza niż \(\displaystyle{ e^{\frac 1 e}}\)

Premislavie nie spojrzałem wcześniej na Twój post. Moje oszacowanie z góry i z dołu nie wydaje mi się kompletnie nieprawdziwe.

To może wyjaśnij, proszę, czemu należy uznać te szacowania za poprawne. Gdybyś przedstawił jakieś rozumowanie prowadzące do otrzymania tych nierówności, to mógłbym wskazać błąd lub ewentualnie przeciwnie, zrozumieć własną pomyłkę i przyznać Ci rację. W szczególności nie rozumiem, czym jest \(\displaystyle{ n}\) w Twoich szacowaniach, skoro \(\displaystyle{ n}\) się zmieniają...

Przedstawię rozwiązanie zadania, nie za ładne, ale zawsze jakieś. Jeśli ktoś widzi błędy, to bardzo proszę o informację.

\(\displaystyle{ \textbf{Lemat 1.}}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ n!>\left( \frac n e\right)^n}\)
Dowód: indukcja po \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 1>\frac 1 e}\), gdyż
\(\displaystyle{ e= \sum_{k=0}^{ \infty }\frac{1}{k!}>\frac{1}{0!}=1}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) jest
\(\displaystyle{ n!>\left( \frac n e\right)^n}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)\cdot n!>(n+1)\cdot\left( \frac n e\right)^n > \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}}\)
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż po nietrudnych przekształceniach algebraicznych dochodzimy do wniosku, że jest równoważna nierówności
\(\displaystyle{ e>\left( 1+\frac 1 n\right)^n}\), zaś ciąg \(\displaystyle{ e_n=\left( 1+\frac 1 n\right)^n}\)
jest rosnący oraz jego granicą jest \(\displaystyle{ e}\).
To kończy drugi krok indukcyjny.

\(\displaystyle{ \textbf{Lemat 2.}}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ n! \le ne\left( \frac n e\right)^n}\)
Dowód: również indukcja po \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 1!=1\cdot e\cdot\frac{1}{e}}\)
czyli się zgadza.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\)
Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ n! \le ne\left( \frac n e\right)^n}\)
Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)\cdot n! \le (n+1) \cdot ne\left( \frac n e\right)^n}\)
i wystarczy wykazać, że
\(\displaystyle{ (n+1)\cdot ne\left( \frac n e\right)^n \le (n+1)e\left( \frac{n+1}e\right)^{n+1}}\)
Równoważnie:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 n\right)^{n+1} \ge e}\)
a to jest prawda, gdyż ciąg \(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 n\right)^{n+1}}\) jest malejący (dowód również jest w powyższym linku) i ma granicę \(\displaystyle{ e}\). To kończy drugi krok indukcyjny.

Korzystając z lematu 1. i lematu 2. możemy zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(n-1)!}e^{-(n-1)}\ge \frac{1}{n^n} \ge \frac{1}{n!} e^{-n}}\)
oraz dla \(\displaystyle{ x>0}\):
\(\displaystyle{ \frac{x^n}{(n-1)!}e^{-(n-1)}\ge \frac{x^n}{n^n} \ge \frac{x^n}{n!} e^{-n}\\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}e^{-(n-1)}\ge \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n^n} \ge \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n!} e^{-n}\\ xe^{\frac x e}\ge \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{x^n}{n^n} \ge e^{\frac x e}-1}\)
i dalej łatwo skończyć rozwiązanie z twierdzenia o trzech funkcjach, co zostawiam jako ćwiczenie dla Ciebie (jak to Twoje zdanie, to masz coś robić, OK?).
Wynik: \(\displaystyle{ e^{\frac 1 e}}\)
Dość trudne masz te zadanka, skąd je bierzesz?

Gratulacje To zadanie konkursowe dla studentów, niewielu sobie z nim poradziło
Mam jeszcze parę mogę wrzucić bo w wakcje mam trochę czasu

Przedstawione przez Ciebie lematy dowodzi się całkiem przyjemnie przy użyciu indukcji matematycznej (możliwe, że ulegają także urokowi nierówności między średnimi), zdarzało mi się je widzieć jako zadania na kolokwiach dla wybitniejszych studentów Można sobie o nich poczytać pod adresem ... or_large_n

Jakbog pisze:

yorgin pisze:można pokazać, że

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty} (1+n)^{\frac{1}{n}}=1}\),

a tymczasem jest

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty} (1+n)^{\frac{1}{n}}=e}\)

Nie, \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to +\infty} (1+n)^{\frac{1}{n}}=1}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = (1+x)^{\frac{1}{x}}}\) jest malejąca. Ponadto \(\displaystyle{ f(1)=2}\) oraz \(\displaystyle{ f(2017) = 1.00377998}\).

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty} (x+1)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to+\infty} \exp\left(\frac{\ln(x+1)}{x}\right) = e^0 = 1}\)

Pomyłka dość poważna z mojej strony

Prawdopodobnie wtedy widziałem tam granicę postaci

\(\displaystyle{ \lim\limits_{y\to 0}(1+y)^{1/y}}\)

z podstawieniem \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}}\).

A granica \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+n}}\) jest całkowicie elementarna:

\(\displaystyle{ 1\leq \sqrt[n]{1+n}\leq \sqrt[n]{n+n}=\sqrt[n]{2}\sqrt[n]{n}\to 1\cdot 1}\).

Ze znanej nierówności:

\(\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{i}\right)^{i}< e < \left(1 + \frac{1}{i}\right)^{i+1}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{i+1} \frac{(i+1)^{i+1}}{i^{i}}< e < \frac{1}{i}\frac{(i+1)^{i+1}}{i^{i}}}\) (1)

Mnożąc nierówność (1) dla \(\displaystyle{ i = 1,2,...,n,}\)
mamy

\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+1)!}(n+1)^{n+1}\leq e^{n} \leq \frac{1}{n!}(n+1)^{n+1}.}\)

Dla \(\displaystyle{ n:= (n-1)}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n!}n^{n} \leq e^{n-1} \leq \frac{1}{(n-1)!}n^{n}, \ \ n\geq 1.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ e( e^{\frac{x}{e}} -1) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!e^{n-1}}\leq \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{n}\right)^{n}\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{(n-1)!e^{n-1}}= xe^{\frac{x}{e}}.}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{n}\right)^{n}\right) ^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{e}.}\)

Widzę że wzbudziło zainteresowanie...Możecie też tym się zainterosować
423410.htm