Matematyka.pl

Jak obliczyć tego typu granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \sqrt[5]{x^{10}+x}-x^2 }\)
Czy da się do zrobić w sposób prostrzy niż korzystając ze wzorów skróconego mnożenia dla piątej potęgi? W rezultacie otrzymuję ułamek z \(\displaystyle{ x}\) w liczniku i bardzo długim wyrażeniem w mianowniku.

No i prawidłowo. Tak ma być

Wyłącz \(\displaystyle{ x^2}\) przed nawias, potem sprzężenie (w nawiasie) - powinno pomóc.
[edit] Nie pomoże - moja pomyłka.

Czy aby wykazać, że funkcja zbiega do zera wystarczy, że zauważę, że wyrażenie w mianowniku rośnie o wiele szybciej niż licznik? Na przykład samo \(\displaystyle{ x^8}\) znajdujące się w mianowniku. Czy mogę skorzystać tutaj z twierdzenia o trzech funkcjach?

Po zastosowaniu wzoru na różnicę piątych potęg \(\displaystyle{ a^5 -1 = (a-1)(a^4 +a^3 +a^2 + a + 1), \ \ a = \sqrt[5]{1 + \frac{1}{x^9}} }\) widzimy od razu, że granica funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^2\left ( \sqrt[5]{1 + \frac{1}{x^9}} - 1\right ) }\) jest równa zeru. Nie ma sensu stosować twierdzenie o trzech funkcjach.

To nie jest wyrażenie nieoznaczone? Przed wyciągnięciem \(\displaystyle{ x^{2} }\) przed nawias mam wyrażenie w postaci \(\displaystyle{ \left[ \infty - \infty\right]}\).

Nie rozumiem tej uwagi. Nie mamy wyrażenia nieoznaczonego.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} [\sqrt[5]{x^{10} +x} -x^2] = \lim_{x\to \infty} x^2 \left [\sqrt[5]{1 + \frac{1}{x^9}}-1\right] = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2 \left(1 + \frac{1}{x^9}-1 \right)}{\sqrt[5]{(1+\frac{1}{x^9})^4} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^3} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^2} +\sqrt[5]{1+\frac{1}{x^9}} +1} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x^7\left(\sqrt[5]{(1+\frac{1}{x^9})^4} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^3} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^2} +\sqrt[5]{1+\frac{1}{x^9}} +1\right)} = 0.}\)

janusz47 pisze: ↑7 maja 2022, o 12:30 Nie rozumiem tej uwagi. Nie mamy wyrażenia nieoznaczonego.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} [\sqrt[5]{x^{10} +x} -x^2] = \lim_{x\to \infty} x^2 \left [\sqrt[5]{1 + \frac{1}{x^9}}-1\right] = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2 \left(1 + \frac{1}{x^9}-1 \right)}{\sqrt[5]{(1+\frac{1}{x^9})^4} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^3} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^2} +\sqrt[5]{1+\frac{1}{x^9}} +1} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{x^7\left(\sqrt[5]{(1+\frac{1}{x^9})^4} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^3} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^2} +\sqrt[5]{1+\frac{1}{x^9}} +1\right)} = 0.}\)

Zostawiłeś to w postaci `\infty\cdot 0` a to jest wyrażenie nieoznaczone.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt[5]{(1 +\frac{1}{x^9})^{i}}} = 1, \ \ i = 0,1, 2, 3, 4, }\)

\(\displaystyle{ = \frac{\lim_{ x\to \infty} \left(\frac{1}{x^7}\right) }{\lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[5]{(1+\frac{1}{x^9})^4} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^3} +\sqrt[5]{(1 + \frac{1}{x^9})^2} +\sqrt[5]{1+\frac{1}{x^9}}+1\right)} = ... = \frac{0}{1+1+1+1+1} = \frac{0}{5}=0.}\)

janusz47 pisze: ↑7 maja 2022, o 12:30 Nie rozumiem tej uwagi. Nie mamy wyrażenia nieoznaczonego.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} [\sqrt[5]{x^{10} +x} -x^2] = \lim_{x\to \infty} x^2 \left [\sqrt[5]{1 + \frac{1}{x^9}}-1\right]}\)

Czy taki zapis może w ogóle wystąpić?

Tak jak pisałem zastosowałbym wzór \(\displaystyle{ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}\) - wymnożyłbym początkowe wyrażenie przez \(\displaystyle{ \frac{a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4}{a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4} }\), gdzie \(\displaystyle{ a=\sqrt[5]{x^{10} +x}}\) i \(\displaystyle{ b=x^2}\).

Korzystamy z tożsamości dla \(\displaystyle{ b=1}\)

\(\displaystyle{ (a-1) = \frac{a^5-1}{a^4+a^3+a^2+a^1 +a^0}}\)

Proszę rozpisać swój pomysł. Nie widzę tego.

żeby unikąć wyrażenia nieoznaczonego w postaci \(\displaystyle{ \left[ \infty - \infty \right] }\) lub \(\displaystyle{ \left[ \infty \cdot 0\right] }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \sqrt[5]{x^{10} +x}-x^2 = \lim_{x \to \infty } (\sqrt[5]{x^{10} +x}-x^2) \cdot \frac{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8}=}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x \to \infty } \frac{x^{10}+x-x^{10}}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8}=}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x \to \infty } \frac{x}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8} }\)

tutaj z twierdzenia o trzech ciągach
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^8} \le \frac{x}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8} \le \frac{x}{5 \cdot x^{10}} }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x}{x^8}=0 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x}{5 \cdot x^{10}}=0 }\)
więc
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8} = 0}\)

Panie Wojciechufil20 skąd się wzięła z postaci licznika ułamka w wierszu pierwszym - postać licznika ułamka w wierszu drugim?

Na jakiej podstawie szacując ułamki - zastępuje Pan potęgi pierwiastków piątego stopnia - jedynkami przy \(\displaystyle{ x\rightarrow \infty? }\)

wojciechfil20 pisze: ↑7 maja 2022, o 19:00 \(\displaystyle{ \frac{x}{x^8} \le \frac{x}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8} \le \frac{x}{5 \cdot x^{10}} }\)

miało być \(\displaystyle{ \ge }\), a nie \(\displaystyle{ \le }\).

Postać licznika wynika ze wzorów skróconego mnożenia.

Z jakich wzorów skróconego mnożenia ?

Skąd wynika to szacowanie przez opuszczenie potęg pierwiastków piątego stopnia?

To są jakieś "czary-mary".