Granica funkcji w nieskończoności
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Granica funkcji w nieskończoności
Czy poniższy sposób obliczenia granicy jest poprawny?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } \frac{x^3+4x^2-1}{-4-x}= \lim_{ x\to + \infty } \frac{x^3\left( 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^3}\right) }{-x^3\left( \frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^2}\right) }= \lim_{ x\to + \infty } \frac{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^3} }{-\left( \frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^2}\right) }= \left[ \frac{1}{0^-}\right] =-\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } \frac{x^3+4x^2-1}{-4-x}= \lim_{ x\to + \infty } \frac{x^3\left( 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^3}\right) }{-x^3\left( \frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^2}\right) }= \lim_{ x\to + \infty } \frac{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^3} }{-\left( \frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^2}\right) }= \left[ \frac{1}{0^-}\right] =-\infty}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Granica funkcji w nieskończoności
Od biedy może być. Jest tu ukryte sporo niuansów i dociekliwy wykładowca może wymagać ich opisania. Osobiście wolał bym zamienić funcie spod granicy na \(\displaystyle{ -x^2 + 1/(4 + x)}\) i się wykpić ze wszystkiego.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Granica funkcji w nieskończoności
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{x^3+4x^2-1}{-4-x} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^3+4x^2-1}{-(x+4)}= \lim_{x\to \infty} \frac{-(x^3+4x^2-1)}{x+4} }\)
Dzielimy licznik przez mianownik:
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to \infty} \left( -x^2 + \frac{1}{x+4}\right) = }\)
Dzielimy licznik przez mianownik:
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to \infty} \left( -x^2 + \frac{1}{x+4}\right) = }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Granica funkcji w nieskończoności
W przypadku liczenia granicy wyrażenia wymiernego w nieskończonościach, zdecydowanie najskuteczniejszym sposobem jest wyłączenie najwyższej potęgi z licznika i z mianownika i uproszczenie otrzymanego wyrażenia. W rezultacie otrzymamy iloczyn wyrażenia postaci `x^k`, gdzie `k` jest liczbą całkowitą i czegoś co dąży do niezerowej wartości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Granica funkcji w nieskończoności
Jasne, tylko dzieląc wielomiany może się zdarzyć tak, że dostaniesz resztę typu \(\displaystyle{ \frac{x-4}{x^3-2x+1}}\) i z całego pomysłu wyjdzie kiszka.
Dodano po 36 minutach 29 sekundach:
A dla wprawy zrób Twoją metodą taki prosty przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^4-(e^\pi-\ln2)x^3+(\sqrt3-\sqrt2)x+1-\frac{2}{e^{1+\sqrt3}}}{x-(\sqrt 7-\sqrt3-\sqrt2)}}\)
Z jesiennym uśmieszkiem
Dodano po 36 minutach 29 sekundach:
A dla wprawy zrób Twoją metodą taki prosty przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^4-(e^\pi-\ln2)x^3+(\sqrt3-\sqrt2)x+1-\frac{2}{e^{1+\sqrt3}}}{x-(\sqrt 7-\sqrt3-\sqrt2)}}\)
Z jesiennym uśmieszkiem
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Granica funkcji w nieskończoności
Ale się nie zdażyło i nie ma sensu dawać karkołomnych przykładów (co by było gdyby ?) funkcji niewymiernej i dalej pokazywać na prostym przykładzie granicy kto ma rację.
Pozdrawiam w piękny dzień jesienny.
Pozdrawiam w piękny dzień jesienny.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Granica funkcji w nieskończoności
OT. A czy nie uważasz, że dając tylko trywialne przykłady wpajamy w studentów nieuzasadnione przekonanie, że cały świat składa się tylko z liczb naturalnych (no i może jeszcze w `\pi, e` i `\ln 2`?
Potem wejdą w świat inżynierski, lub co gorsza pola walki, gdzie przyjdzie im się zmagać z ułamkami stopni (np. w artylerii) lub ćwiartkami cala (hydraulicy) i cała magia pryśnie
Potem wejdą w świat inżynierski, lub co gorsza pola walki, gdzie przyjdzie im się zmagać z ułamkami stopni (np. w artylerii) lub ćwiartkami cala (hydraulicy) i cała magia pryśnie
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Re: Granica funkcji w nieskończoności
Jeszcze odnośnie mojego przykładu - ja potrafię policzyć tę granicę w standardowy, "bezpieczny" sposób i jestem w pełni świadoma, że ten sposób nie jest uniwersalny i w innych przykładach byłby poważny problem z uzasadnieniem znaku zera. Po prostu zastanawiałam się, czy w tym konkretnym przykładzie metoda jest poprawna Dziękuję za odpowiedzi.