Matematyka.pl

Czy poniższy sposób obliczenia granicy jest poprawny?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to + \infty } \frac{x^3+4x^2-1}{-4-x}= \lim_{ x\to + \infty } \frac{x^3\left( 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^3}\right) }{-x^3\left( \frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^2}\right) }= \lim_{ x\to + \infty } \frac{ 1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^3} }{-\left( \frac{4}{x^3}+\frac{1}{x^2}\right) }= \left[ \frac{1}{0^-}\right] =-\infty}\)

Od biedy może być. Jest tu ukryte sporo niuansów i dociekliwy wykładowca może wymagać ich opisania. Osobiście wolał bym zamienić funcie spod granicy na \(\displaystyle{ -x^2 + 1/(4 + x)}\) i się wykpić ze wszystkiego.

A gdyby znaki w mianowniku nie były takie same, to byś miała poważny kłopot z uzasadnieniem znaku zera

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{x^3+4x^2-1}{-4-x} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^3+4x^2-1}{-(x+4)}= \lim_{x\to \infty} \frac{-(x^3+4x^2-1)}{x+4} }\)

Dzielimy licznik przez mianownik:

\(\displaystyle{ = \lim_{x\to \infty} \left( -x^2 + \frac{1}{x+4}\right) = }\)

W przypadku liczenia granicy wyrażenia wymiernego w nieskończonościach, zdecydowanie najskuteczniejszym sposobem jest wyłączenie najwyższej potęgi z licznika i z mianownika i uproszczenie otrzymanego wyrażenia. W rezultacie otrzymamy iloczyn wyrażenia postaci `x^k`, gdzie `k` jest liczbą całkowitą i czegoś co dąży do niezerowej wartości.

inusia146 pisze: ↑11 lis 2022, o 23:01Czy poniższy sposób obliczenia granicy jest poprawny?

Powiedziałbym wręcz: wzorowy.

Powiedziałbym, że można obliczać granicę zarówno wzorowym jak i niewzorowym sposobem.

Jasne, tylko dzieląc wielomiany może się zdarzyć tak, że dostaniesz resztę typu \(\displaystyle{ \frac{x-4}{x^3-2x+1}}\) i z całego pomysłu wyjdzie kiszka.

Dodano po 36 minutach 29 sekundach:
A dla wprawy zrób Twoją metodą taki prosty przykład:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^4-(e^\pi-\ln2)x^3+(\sqrt3-\sqrt2)x+1-\frac{2}{e^{1+\sqrt3}}}{x-(\sqrt 7-\sqrt3-\sqrt2)}}\)

Z jesiennym uśmieszkiem

Ale się nie zdażyło i nie ma sensu dawać karkołomnych przykładów (co by było gdyby ?) funkcji niewymiernej i dalej pokazywać na prostym przykładzie granicy kto ma rację.

Pozdrawiam w piękny dzień jesienny.

OT. A czy nie uważasz, że dając tylko trywialne przykłady wpajamy w studentów nieuzasadnione przekonanie, że cały świat składa się tylko z liczb naturalnych (no i może jeszcze w `\pi, e` i `\ln 2`?

Potem wejdą w świat inżynierski, lub co gorsza pola walki, gdzie przyjdzie im się zmagać z ułamkami stopni (np. w artylerii) lub ćwiartkami cala (hydraulicy) i cała magia pryśnie

Nie przesadzaj , dałeś przykład granicy funkcji, która nie jest ilorazem dwóch wielomianów.

No chyba jednak jest

Jeszcze odnośnie mojego przykładu - ja potrafię policzyć tę granicę w standardowy, "bezpieczny" sposób i jestem w pełni świadoma, że ten sposób nie jest uniwersalny i w innych przykładach byłby poważny problem z uzasadnieniem znaku zera. Po prostu zastanawiałam się, czy w tym konkretnym przykładzie metoda jest poprawna Dziękuję za odpowiedzi.