Granica funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 382
- Rejestracja: 1 cze 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 61 razy
Granica funkcji
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } x \cdot \ln{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}=\lim_{ x\to \infty } x \cdot \ln {\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)}=[ \infty \cdot 0]=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ x\to \infty } \frac{\ln {\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)}}{\frac{1}{x}}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{[H]}{=}\lim_{ x\to \infty } \frac{-2x^2}{x^2-1}=-2}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ x\to \infty } \frac{\ln {\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)}}{\frac{1}{x}}=\left[\frac{0}{0}\right]\stackrel{[H]}{=}\lim_{ x\to \infty } \frac{-2x^2}{x^2-1}=-2}\)
Ostatnio zmieniony 3 lut 2011, o 23:50 przez ?ntegral, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Granica funkcji
Niekoniecznie.İntegral pisze:Należy teraz skorzystać z twierdzenia de l'Hospitala.
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } x \cdot \ln{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}=\lim_{ x\to \infty } x \cdot \ln {\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)}=\lim_{x\to\infty}\ln\left[\left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{\frac{x+1}{-2}}\right]^{\frac{-2x}{x+1}}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Granica funkcji
Eee tam...İntegral pisze:\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+1}>0 \quad \Leftrightarrow \quad x \in (-1;1)}\)
Cztery posty wyżej.rolas18 pisze:a ostateczny wynik??
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Granica funkcji
Nie mogę się powstrzymać, żeby nie odkopać. Wiele takich rzeczy można zupełnie prosto zrobić twierdzeniem Lagrange'a
\(\displaystyle{ x\ln\frac{x-1}{x+1}=x\left(\ln(x-1)-\ln(x+1)\right)=-2x\cdot\frac{1}{\xi}}\)
gdzie `x-1<\xi<x+1`.
Stąd
\(\displaystyle{ -2 \leftarrow \frac{-2x}{x-1}<x\ln\frac{x-1}{x+1}<\frac{-2x}{x+1} \rightarrow -2}\)
\(\displaystyle{ x\ln\frac{x-1}{x+1}=x\left(\ln(x-1)-\ln(x+1)\right)=-2x\cdot\frac{1}{\xi}}\)
gdzie `x-1<\xi<x+1`.
Stąd
\(\displaystyle{ -2 \leftarrow \frac{-2x}{x-1}<x\ln\frac{x-1}{x+1}<\frac{-2x}{x+1} \rightarrow -2}\)