Matematyka.pl

Po pierwsze, witam na forum, jako, że wasza konkurencja nie prosperuje najlepiej, przyszedłem tutaj
Po drugie problem, oblicz granicę funkcji:
a) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \arctan{\frac{1}{1-x} }}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{x \to a} \left(2-\frac{x}{a}\right)^{\tan\frac{\pi x}{2a}}}\) (zad 12.74 z Krysickiego, zbiór podaje odp: \(\displaystyle{ e^a}\))

c) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}}\)

d) \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos{x}^{\sin{x}}}{x^3}}\)

e) \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty }\left(\frac{1}{e^x}-x^2\right)}\)

Podpunkt b (i pewnie nie tylko) idzie na przykład z Hospitala, ale pomimo tego wychodzi mi źle...
Dzięki za cenne wskazówki.

Przedstaw swoje obliczenia, poszukamy błędów.

\(\displaystyle{ \ln\lim_{x \to a} (2-\frac{x}{a})^{\tan\frac{\pi x}{2a}}=\lim_{x \to a}\tan\frac{\pi x}{2a} \ln(2-\frac{x}{a})= \frac{\ln(2-\frac{x}{a})}{\frac{1}{\tan\frac{\pi x}{2a}}}=H=\frac{\frac{\frac{-1}{a}}{2-\frac{x}{a}}}{\frac{-1}{sin^2{\frac{\pi x}{2a}}}\frac{\pi}{2a}}=\frac{-sin^2\frac{\pi x}{2a}2a}{-\pi(2a-x)}=... }\)

I jak z tego ma wyjść \(\displaystyle{ e^a}\)

Witaj,

u Krysickiego musi być pomyłka. Mi wychodzi \(\displaystyle{ e^\frac{2}{\pi}}\) (sprawdziłem na wszelki wypadek pod Mathematicą). W moim wydaniu Krysickiego jest taka odpowiedź na zad. 12.73. Wszystko się więc pewnie rozbija o błąd w druku...

Mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\) najwyraźniej e gdzieś zgubiłem...

Licząc tak, jak podałeś wyżej, dostajesz \(\displaystyle{ \ln \lim_{x \to a} \left( 2-\frac{x}{a}\right)^{\tan\frac{\pi x}{2a}} = \frac{2}{\pi}}\)
A więc:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to a} \left( 2-\frac{x}{a}\right)^{\tan\frac{\pi x}{2a}} = e^{\frac{2}{\pi}}}\)

Genialne!