Matematyka.pl

Mam taką funkcję: \(\displaystyle{ x \arccot \frac{1}{x-1}}\)

I mam wyznaczyć jej asymptoty. No wiec założenie, że \(\displaystyle{ x \neq 1}\)

1. Więc pozioma to będzie \(\displaystyle{ \infty \cdot \infty}\) to da nam \(\displaystyle{ \infty}\). To samo w minusie, czyli nie ma poziomych.

2. Teraz pionowa. Musze policzyć w 1 z lewej i prawej. Ale podstawić nie mogę zgodnie z założeniami. No to przerabiam sobie to na del' Hospitala:

\(\displaystyle{ \frac{\arccot \frac{1}{x-1}}{ \frac{1}{x} }}\) i liczę pochodna z mianownika i z licznika:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{-1}{1+ \frac{1}{x-1} }\cdot \frac{-1}{(x-1)^2}} { \frac{-1}{x^2} }}\) ale tutaj utykam, bo nie mogę podstawić 1.

3. Potem ukośna:

\(\displaystyle{ a= \lim_{ x\to \infty } \frac{x\arccot \frac{1}{x-1} }{x}}\) x się skrócą i będzie \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }\arccot \frac{1}{x-1}}\). I teraz jak mianownik dąży do nieskończoności, to cały ułamek do zera, to cały ten arkus dąży do nieskończoności, czyli nie ma ukośnej. Dobrze myślę?

W przypadku pionowej będzie trochę inaczej. Granica z lewej i prawej strony czyli liczysz granice przy x dążącym do \(\displaystyle{ 1 ^{+} i 1 ^{-}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1 ^{+} } f(x) = [1*arcctg \frac{1}{1 ^{+}-1 } = arcctg \frac{1}{0 ^{+} } = arcctg(+ \infty )]}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1 ^{-} } f(x) = [arcctg (- \infty )]}\)

Czyli te granice w \(\displaystyle{ 1^{+}}\) i \(\displaystyle{ 1^{-}}\) wynoszą odpowiednio: \(\displaystyle{ \infty}\) i \(\displaystyle{ - \infty}\)? I wtedy ma asymptotę w pkt 1 ?


Po zastanowieniu się, to chyba będzie dla:
\(\displaystyle{ 1^{+}}\) : 0
\(\displaystyle{ 1^{-}}\) : \(\displaystyle{ \pi}\)

Czyli nie będzie asymptot pionowych.

Tak jak napisał zonker , wynikami będzie \(\displaystyle{ 0 i \pi}\) , czyli pionowych asymptot nie ma.

W przypadku asymptot ukośnych będzie

\(\displaystyle{ a= \lim_{ x\to + \infty } arcctg \frac{1}{1-x} = [arcctg0]= \frac{\pi}{2}}\)