Granica ciągu pod pierwiastkiem n-tego stopnia

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Veanty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 25 lis 2022, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Granica ciągu pod pierwiastkiem n-tego stopnia

Post autor: Veanty »

Witam, jestem podczas robienia jednego z zadań w podręczniku i napotkałem się na ten przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[n]{3n+\sin(n)} }\)
Wiem, że odpowiedź to 1, miałem w głowie to, że można zamienić ten pierwiastek na potęge:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} (3n+\sin(n))^{ \frac{1}{n} } }\)
a \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{1}{n}=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} (3n+\sin(n))^0 = 1 }\)
Jednakże wątpię w to rozwiązanie, na pewno jest jakiś sposób na "rozpisanie" tego.
Z góry dziękuję za pomoc.
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 667
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 204 razy

Re: Granica ciągu pod pierwiastkiem n-tego stopnia

Post autor: JHN »

Ja bym zaczął do
\(3n-1\le3n+\sin n\le3n+1\)

Pozdrawiam
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 33949
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5187 razy

Re: Granica ciągu pod pierwiastkiem n-tego stopnia

Post autor: Jan Kraszewski »

Veanty pisze: 31 sty 2023, o 13:28 Jednakże wątpię w to rozwiązanie,
I bardzo słusznie, bo to złe rozwiązanie jest. Nie można przechodzić do granicy "po kawałku".

JK
Veanty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 25 lis 2022, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Re: Granica ciągu pod pierwiastkiem n-tego stopnia

Post autor: Veanty »

Proszę o potwierdzenie czy moja odpowiedź jest prawidłowa.
Odpowiedź w załączniku.
(Na dole powinno być jeszcze \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} }\))
Załączniki
mmm.jpg
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4051
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1387 razy

Re: Granica ciągu pod pierwiastkiem n-tego stopnia

Post autor: Janusz Tracz »

Jest ok.
ODPOWIEDZ