Funkcja i granica
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11417
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Funkcja i granica
Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) taka, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0 } f(x) = \infty}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x_0 \in \RR }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Funkcja i granica
Myślę, że nie istnieje taka funkcja, bo gdyby istniała, to dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in \RR}\) musiałoby być \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \RR}\), a więc \(\displaystyle{ f\left( x\right) \neq + \infty}\), i ponieważ granicę rozważa się w otoczeniu danego punktu więc to jest niemożliwe (może ktoś uzasadni to lepiej)
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Funkcja i granica
Przypuśćmy, że taka funkcja istnieje. Oznaczmy \(\displaystyle{ A_n=\{x: |f(x)|\le n\}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \RR= \bigcup_{}^{} A_n}\), zatem któryś z tych zbiorów (powiedzmy `A_N`) jest nieprzeliczalny.
Ze zbioru `A_N` możemy łatwo wybrać podciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) zbieżny do pewnej liczby `x_0`. Ale `f(x_n)` nie może być zbieżny do nieskończoności, bo wszystkie jego wyrazy sa `\le N`
Oczywiście \(\displaystyle{ \RR= \bigcup_{}^{} A_n}\), zatem któryś z tych zbiorów (powiedzmy `A_N`) jest nieprzeliczalny.
Ze zbioru `A_N` możemy łatwo wybrać podciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) zbieżny do pewnej liczby `x_0`. Ale `f(x_n)` nie może być zbieżny do nieskończoności, bo wszystkie jego wyrazy sa `\le N`
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Funkcja i granica
Doceniam dowcip
A na poważnie:
Po pierwsze: jeżeli mowa o granicy `f(x)` przy `x\to x_0` to zakłada się, że `x\ne x_0`.
Po drugie: `x_0` nie musi należeć do zbioru `A_N`.
A na poważnie:
Po pierwsze: jeżeli mowa o granicy `f(x)` przy `x\to x_0` to zakłada się, że `x\ne x_0`.
Po drugie: `x_0` nie musi należeć do zbioru `A_N`.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Funkcja i granica
Winszuję optymizmu - jednak to nie dowcip, lecz luka w Twoim dowodzie, na co nieśmiało próbowałem zwrócić Ci uwagę. Twoja pierwsza obserwacja prawidłowo identyfikuje problem, druga jest cokolwiek od rzeczy, natomiast luki nadal nie usunąłeś. :>
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Funkcja i granica
Jeżeli uważasz, że jest to istotna luka w dowodzie, to przyjmuję to z pokorą. Nie usunę jej, bo nie mogę już edytować tego posta. Natomiast po Twojej uwadze każdy czytelnik będzie wiedział jak naprawić ten dowód (w końcu po coś zakładam nieprzeliczalność tego zbioru).
Wierzę w ludzi i zakładam, że osoba czytająca dowód matematyczny nie tylko czyta ale również myśli i potrafi sobie "dorobić" brakujące detale - zwłaszcza gdy są oczywiste.
Proponuję nie dyskutować więcej na ten temat
Natomiast druga uwaga akurat coś do rzeczy ma: gdyby dało się łatwo pokazać, że w każdym zbiorze nieprzeliczalnym istnieje należący do niego punkt skupienia, to pokazalibyśmy wprost, że `|f(x_0)|\le N`. Ale nie znam łatwego dowodu tego faktu, więc poszedłem drogą która go nie wymaga.
PS: skoro uznałeś za słuszne komentowanie postów w tym wątku, to rozumiem, że nie masz uwag do pierwszego dowodu Jakuba Guraka
Wierzę w ludzi i zakładam, że osoba czytająca dowód matematyczny nie tylko czyta ale również myśli i potrafi sobie "dorobić" brakujące detale - zwłaszcza gdy są oczywiste.
Proponuję nie dyskutować więcej na ten temat
Natomiast druga uwaga akurat coś do rzeczy ma: gdyby dało się łatwo pokazać, że w każdym zbiorze nieprzeliczalnym istnieje należący do niego punkt skupienia, to pokazalibyśmy wprost, że `|f(x_0)|\le N`. Ale nie znam łatwego dowodu tego faktu, więc poszedłem drogą która go nie wymaga.
PS: skoro uznałeś za słuszne komentowanie postów w tym wątku, to rozumiem, że nie masz uwag do pierwszego dowodu Jakuba Guraka
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Funkcja i granica
Nadal nie widzę związku, a dowód jest taki: niech \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{R}}\) będzie nieprzeliczalny i załóżmy nie wprost, że każdy \(\displaystyle{ a \in A}\) ma prawostronne sąsiedztwo \(\displaystyle{ U_a \subseteq \mathbb{R}}\) - tj. zbiór postaci \(\displaystyle{ (a, b)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b > a}\) - rozłączne z \(\displaystyle{ A}\). Nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ \left< U_a : a \in A \right>}\) jest (indeksowaną) rodziną niepustych zbiorów otwartych i parami rozłącznych, co jest niemożliwe.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Funkcja i granica
Patrząc na to z lekką dozą ironii można zauważyć spore podobieństwo między pierwszym postem Jakuba a ostatnim Dasia, tylko ten ostatni jest ubrany w kolorowe szatki...