Matematyka.pl

Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) taka, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0 } f(x) = \infty}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x_0 \in \RR }\)

Myślę, że nie istnieje taka funkcja, bo gdyby istniała, to dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in \RR}\) musiałoby być \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \RR}\), a więc \(\displaystyle{ f\left( x\right) \neq + \infty}\), i ponieważ granicę rozważa się w otoczeniu danego punktu więc to jest niemożliwe (może ktoś uzasadni to lepiej)

Przypuśćmy, że taka funkcja istnieje. Oznaczmy \(\displaystyle{ A_n=\{x: |f(x)|\le n\}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \RR= \bigcup_{}^{} A_n}\), zatem któryś z tych zbiorów (powiedzmy `A_N`) jest nieprzeliczalny.
Ze zbioru `A_N` możemy łatwo wybrać podciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) zbieżny do pewnej liczby `x_0`. Ale `f(x_n)` nie może być zbieżny do nieskończoności, bo wszystkie jego wyrazy sa `\le N`

a4karo pisze: ↑20 lut 2024, o 20:23Ze zbioru `A_N` możemy łatwo wybrać podciąg \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) zbieżny do pewnej liczby `x_0`.

Na przykład ciąg stały?

Doceniam dowcip

A na poważnie:
Po pierwsze: jeżeli mowa o granicy `f(x)` przy `x\to x_0` to zakłada się, że `x\ne x_0`.
Po drugie: `x_0` nie musi należeć do zbioru `A_N`.

Winszuję optymizmu - jednak to nie dowcip, lecz luka w Twoim dowodzie, na co nieśmiało próbowałem zwrócić Ci uwagę. Twoja pierwsza obserwacja prawidłowo identyfikuje problem, druga jest cokolwiek od rzeczy, natomiast luki nadal nie usunąłeś. :>

Jeżeli uważasz, że jest to istotna luka w dowodzie, to przyjmuję to z pokorą. Nie usunę jej, bo nie mogę już edytować tego posta. Natomiast po Twojej uwadze każdy czytelnik będzie wiedział jak naprawić ten dowód (w końcu po coś zakładam nieprzeliczalność tego zbioru).

Wierzę w ludzi i zakładam, że osoba czytająca dowód matematyczny nie tylko czyta ale również myśli i potrafi sobie "dorobić" brakujące detale - zwłaszcza gdy są oczywiste.

Proponuję nie dyskutować więcej na ten temat

Natomiast druga uwaga akurat coś do rzeczy ma: gdyby dało się łatwo pokazać, że w każdym zbiorze nieprzeliczalnym istnieje należący do niego punkt skupienia, to pokazalibyśmy wprost, że `|f(x_0)|\le N`. Ale nie znam łatwego dowodu tego faktu, więc poszedłem drogą która go nie wymaga.


PS: skoro uznałeś za słuszne komentowanie postów w tym wątku, to rozumiem, że nie masz uwag do pierwszego dowodu Jakuba Guraka

a4karo pisze: ↑21 lut 2024, o 12:22gdyby dało się łatwo pokazać, że w każdym zbiorze nieprzeliczalnym istnieje należący do niego punkt skupienia, to pokazalibyśmy wprost, że `|f(x_0)|\le N`.

Nadal nie widzę związku, a dowód jest taki: niech \(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{R}}\) będzie nieprzeliczalny i załóżmy nie wprost, że każdy \(\displaystyle{ a \in A}\) ma prawostronne sąsiedztwo \(\displaystyle{ U_a \subseteq \mathbb{R}}\) - tj. zbiór postaci \(\displaystyle{ (a, b)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ b > a}\) - rozłączne z \(\displaystyle{ A}\). Nietrudno sprawdzić, że \(\displaystyle{ \left< U_a : a \in A \right>}\) jest (indeksowaną) rodziną niepustych zbiorów otwartych i parami rozłącznych, co jest niemożliwe.

Patrząc na to z lekką dozą ironii można zauważyć spore podobieństwo między pierwszym postem Jakuba a ostatnim Dasia, tylko ten ostatni jest ubrany w kolorowe szatki...

Nie ma takiej funkcji.