Matematyka.pl

a)
Udowodnij:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x ^{5}) = q \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = q }\)
b)
Oblicz:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \left[ (1-x)\text{tg}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right) \right] }\)
Odp: \(\displaystyle{ \frac{2}{ \pi } }\)

Jakieś własne próby? To pierwsze z definicji

Drugą granicę na przykład z reguły De'Hospitala przez sprowadzenie do symbolu nieoznaczonego \(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]. }\)

janusz47 pisze: ↑31 sie 2022, o 13:43 Drugą granicę na przykład z reguły De'Hospitala przez sprowadzenie do symbolu nieoznaczonego \(\displaystyle{ \left[\frac{0}{0}\right]. }\)

Armata na muchę. \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi x}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{2}\right)}\)

a4karo pisze: ↑31 sie 2022, o 11:49 Jakieś własne próby? To pierwsze z definicji

Zapisałem
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x ^{5} = 0 }\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x = 0 }\),
dalej nie mam pomysłu co z tym zrobić, a nigdzie nie znalazłem dowodu takiego.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \left[ (1-x)\text{tg}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right) \right] }\)
Odp: \(\displaystyle{ \frac{2}{ \pi } }\)

a4karo pisze: ↑31 sie 2022, o 14:09 Armata na muchę. \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi x}{2}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi x}{2}\right)}\)

Z tego zapętlam się w postaci
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \left[ (1-x)\text{tg}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right) \right] = \lim_{x \to 1} \left[ (1-x)\frac{\text{sin}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right)}{\text{cos}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right)} \right] = \lim_{x \to 1} \left[ (1-x)\frac{\text{sin}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right)}{\text{sin}\left( \frac{ \pi}{2} - \frac{ \pi \cdot x}{2}\right)} \right] = \lim_{x \to 1} \left[ (1-x)\frac{\text{sin}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right)}{\text{sin}\left( \frac{ \pi}{2} \right) \cdot\text{cos}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2} \right) - \text{cos}\left( \frac{ \pi}{2} \right) \cdot\text{sin}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2} \right)} \right] }\)

\(\displaystyle{ \text{sin}\left( \frac{ \pi}{2} \right) = 1 }\)
\(\displaystyle{ \text{cos}\left( \frac{ \pi}{2} \right) = 0 }\)
więc wracam do
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \left[ (1-x)\frac{\text{sin}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right)}{\text{cos}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right)} \right]}\)

Isdre pisze: ↑1 wrz 2022, o 09:38Zapisałem
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x ^{5} = 0 }\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x = 0 }\),
dalej nie mam pomysłu co z tym zrobić, a nigdzie nie znalazłem dowodu takiego.

To co zapisałeś to nawet nie jest początek dowodu. Znasz definicję granicy funkcji w punkcie? Jeżeli nie znasz, to poznaj - to będzie pierwszy krok.

Isdre pisze: ↑1 wrz 2022, o 09:38\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1} \left[ (1-x)\text{tg}\left( \frac{ \pi \cdot x}{2}\right) \right] }\)

Tu bym zaczął od podstawienia \(\displaystyle{ t=1-x}\), a dopiero potem korzystał z rady a4karo.

JK

Albo bez podstawienia.

W trzeciej granicy wyłączamy w mianowniku \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\) przed nawias i uzupełniamy iloraz do granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{X}{\sin(X)}, \ \ X = \frac{\pi}{2}(x-1), }\) mnożąc licznik i mianownik ilorazu przez \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}.}\)

A myślisz, że to, co tu zaprezentowałeś, to nie jest podstawienie?

Isdre pisze: ↑1 wrz 2022, o 09:38 Zapisałem
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x ^{5} = 0 }\)

Ten fakt rzeczywiście może się przydać w dowodzie w jedną stronę. Ale lepiej będzie zacząć od słów: „Dowodzę implikację w lewo.”, a dopiero wtedy przytoczyć fakt, kiedy on rzeczywiście będzie potrzebny.

Isdre pisze: ↑1 wrz 2022, o 09:38 oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x = 0 }\),

A to raczej się nie przyda.

\(\displaystyle{ ... = \lim_{x\to 1} \frac{\frac{\pi}{2}(1-x)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}(1-x)\right)} \cdot \sin\left(\frac{\pi \cdot x}{2}\right) \cdot \frac{2}{\pi} \rightarrow 1\cdot 1 \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}}\)

Gdzie tutaj jest jakieś podstawienie ?

Tutaj nie ma

janusz47 pisze: ↑1 wrz 2022, o 10:25 Albo bez podstawienia.

W trzeciej granicy wyłączamy w mianowniku \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\) przed nawias i uzupełniamy iloraz do granicy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1}\frac{X}{\sin(X)}, \ \ X = \frac{\pi}{2}(x-1), }\) mnożąc licznik i mianownik ilorazu przez \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}.}\)

Ale tutaj jest.

Janusz, nie rób z użytkowników tego forum idiotów.

Opanuj się, to jest tylko wskazówka jak należało obliczyć granicę.

\(\displaystyle{ ... = \lim_{x\to 1} \frac{\frac{\pi}{2}(1-x)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}(1-x)\right)} \cdot \sin\left(\frac{\pi \cdot x}{2}\right) \cdot \frac{2}{\pi} \rightarrow 1\cdot 1 \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}}\)
Rozumiem, więc
\(\displaystyle{ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\alpha}{\text{sin}(\alpha)} = 1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x ^{5}) = q \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = q }\)
podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymuje
\(\displaystyle{ f(0) = q \Leftrightarrow f(0) = q}\)
co jest prawdą, ponieważ funkcja ma wartość \(\displaystyle{ q}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\), gdy ma wartość \(\displaystyle{ q}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\)?

Równoważność należy wykazać w dwie strony \(\displaystyle{ \rightarrow \ \ \leftarrow }\) korzystając na przykład z definicji granicy funkcji w sensie Heine.