Matematyka.pl

Isdre pisze: ↑1 wrz 2022, o 16:01 \(\displaystyle{ ... = \lim_{x\to 1} \frac{\frac{\pi}{2}(1-x)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}(1-x)\right)} \cdot \sin\left(\frac{\pi \cdot x}{2}\right) \cdot \frac{2}{\pi} \rightarrow 1\cdot 1 \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}}\)
Rozumiem, więc
\(\displaystyle{ \lim_{\alpha\to 0} \frac{\alpha}{\text{sin}(\alpha)} = 1}\)

Raczej w drugą stronę. Skoro `\sin(x)/x\to 1` to ...

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x ^{5}) = q \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = q }\)
podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymuje
\(\displaystyle{ f(0) = q \Leftrightarrow f(0) = q}\)
co jest prawdą, ponieważ funkcja ma wartość \(\displaystyle{ q}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\), gdy ma wartość \(\displaystyle{ q}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\)?

Wartośc funkcji w zerze nie ma nic wspólnego z granicą w zerze. W szczególności ta wartość może nie istnieć

to może wykaże, że granica \(\displaystyle{ x^{5}}\) dla x dążącego do 0 równa się granicy \(\displaystyle{ x}\) dla x dążącego do 0

No to wykaż

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x ^{5}) = q \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = q }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} x ^{5} = 0 = \lim_{x \to 0} x }\)
Gdy prawdą jest:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_{n})^{5} = 0^{5}}\)
i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = q}\)
to
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x ^{5}) = q \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = q }\)

To, niestety jest ściana znaczków, która niczego nie dowodzi..

Spróbuj napisać w języku `\varepsilon,\delta` co chcesz udowodnić i z jakich założeń możesz korzystać. Nie spiesz się.
Najpierw implikacja w jedną stronę, potem w drugą.

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x ^{5}) = q \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = q }\)
Zakładam, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x) = q }\)
z definicji granicy funkcji w punkcie
\(\displaystyle{ x_{n}}\) - ciąg
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = q}\)
Następnie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_{n})^{5} = 0^{5} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f((x_{n})^{5}) = q }\)
Co udowadnia, że
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x) = q \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x ^{5}) = q }\)
Teraz w drugą stronne
Zakładam, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x^{5}) = q }\)
z definicji granicy funkcji w punkcie
\(\displaystyle{ x_{n}}\) - ciąg
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_{n})^{5} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f((x_{n})^{5}) = q}\)
Następnie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x_{n}) = q }\)
Co udowadnia, że
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x) = q \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(x ^{5}) = q }\)

Isdre pisze: ↑3 wrz 2022, o 16:14 Zakładam, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x) = q }\)
z definicji granicy funkcji w punkcie
\(\displaystyle{ x_{n}}\) - ciąg
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0}\)

To znaczy co dokładnie robisz? Bierzesz jakiś szczególny ciąg \(x_n\), czy dowolny ciąg \(x_n\) spełniający określony warunek? To powinno być w sposób jasny napisane w dowodzie. I czy nie chciałeś jeszcze dopisać \(x_n\ne 0\)?

Isdre pisze: ↑3 wrz 2022, o 16:14 \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = q}\)
Następnie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_{n})^{5} = 0^{5} = 0}\)

Czy napis \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = q}\) tutaj jakoś wiąże się z napisami wyżej i niżej? Jeśli nie, to może warto go wyrzucić z dowodu.

Isdre pisze: ↑3 wrz 2022, o 16:14 Teraz w drugą stronne
Zakładam, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x^{5}) = q }\)
z definicji granicy funkcji w punkcie
\(\displaystyle{ x_{n}}\) - ciąg
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_{n})^{5} = 0}\)

Tutaj w ogóle nie rozumiem, o co chodzi.

3a174ad9764fefcb pisze: ↑3 wrz 2022, o 20:38 To znaczy co dokładnie robisz? Bierzesz jakiś szczególny ciąg \(x_n\), czy dowolny ciąg \(x_n\) spełniający określony warunek? To powinno być w sposób jasny napisane w dowodzie. I czy nie chciałeś jeszcze dopisać \(x_n\ne 0\)?

Korzystałem ze definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, więc \(\displaystyle{ x_{n}}\) to dowolny ciąg, a niepotrzebne jest różne od 0.

3a174ad9764fefcb pisze: ↑3 wrz 2022, o 20:38 Czy napis \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = q}\) tutaj jakoś wiąże się z napisami wyżej i niżej? Jeśli nie, to może warto go wyrzucić z dowodu.

To część definicji granicy funkcji w punkcie.

3a174ad9764fefcb pisze: ↑3 wrz 2022, o 20:38

Isdre pisze: ↑3 wrz 2022, o 16:14 Teraz w drugą stronne
Zakładam, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x^{5}) = q }\)
z definicji granicy funkcji w punkcie
\(\displaystyle{ x_{n}}\) - ciąg
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_{n})^{5} = 0}\)

Tutaj w ogóle nie rozumiem, o co chodzi.

Najpierw udowodniłem równość
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x) = q \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x^{5}) = q}\)
Następnie chciałem udowodnić
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x^{5}) = q \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = q}\)
Aby otrzymać
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x^{5}) = q \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = q}\)

Isdre pisze: ↑5 wrz 2022, o 11:18 Korzystałem ze definicji Heinego granicy funkcji w punkcie, więc \(\displaystyle{ x_{n}}\) to dowolny ciąg, a niepotrzebne jest różne od 0.

Dokładniej, chcesz skorzystać z definicji Heinego funkcji \(f((\cdot)^5)\) w punkcie \(0\), żeby wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x^{5}) = q }\). W tym celu bierzesz dowolny ciąg \(x_n\) taki że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = 0 }\) oraz każdy wyraz tego ciągu jest różny od zera. Bez skorzystania z tego ostatniego założenia dowód po prostu nie przejdzie, więc radzę go nie pomijać.

Teraz chcesz wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(x_n^{5}) = 0 }\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x) = q }\), zatem korzystając z definicji Heinego (tym razem w drugą stronę) dla funkcji \(f\) i ciągu ... (tutaj wstawiasz pewien ciąg) wiemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f(x_n^{5}) = 0 }\). Oczywiście jak już zdecydujesz, jakiego ciągu użyjesz, musisz sprawdzić, czy spełnia on założenia definicji Heinego.

Wystarczy zwykłe \(\displaystyle{ x_{n} = \frac{1}{n} }\)

Mamy małe nieporozumienie. \(x_n\) to był dowolny ciąg zbieżny do zera, o wyrazach różnych od zera. My tego ciągu nie ustalamy, tylko bierzemy dowolny, bo chcemy udowodnić zdanie z kwantyfikatorem ogólnym, tzn. chcemy udowodnić, że funkcja \(f((\cdot)^5)\) spełnia definicję granicy Heinego.

Gdy już mamy ten ciąg \(x_n\), to chcemy skorzystać z tego, że znamy granicę funkcji \(f\). Tu korzystamy z tego, że funkcja \(f\) ma określoną granicę, więc tu możemy sobie ustalić ciąg (i to już raczej nie będzie \(x_n\), więc sobie go nazwijmy \(y_n\)). Jak już sobie ten \(y_n\) wybierzemy (oczywiście wybierać możemy tylko z takich, które spełniają założenia definicji Heinego), to będziemy wiedzieli, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f(y_n)=q}\). A chcemy wiedzieć, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f(x_n^5)=q}\). To wybierzmy takie \(y_n\), żeby oba te napisy wyglądały dokładnie tak samo, czyli \(y_n=\ldots\)