Matematyka.pl

Obliczam: \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) } x^2 \, \ln(x^2+y^2)}\)

Z twierdzenia o trzech funkcjach:
\(\displaystyle{ 0 \le x^2 \, \ln(x^2+y^2) \le (x^2 +y^2) \, \ln(x^2+y^2)}\)

Niech \(\displaystyle{ g=x^2+y^2}\).
\(\displaystyle{ g \rightarrow 0 \Leftrightarrow (x^2+y^2) \rightarrow (0,0)}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) } (x^2+y^2) \, \ln(x^2+y^2)\,=\, \lim_{g \to 0 } g \, \ln(g)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{g \to 0 } g \, \ln(g) = - \lim_{ g\to 0 } \frac{-\ln(g)}{ \frac{1}{g} } =}\) (de l'Hospital \(\displaystyle{ \frac{ +\infty }{+ \infty }}\) ) \(\displaystyle{ =\lim_{ g\to 0} \frac{ \frac{1}{g} }{ \frac{1}{ g^{2} } } =0}\)

Więc:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) } (x^2+y^2) \, \ln(x^2+y^2)\,=\, \lim_{g \to 0 } g \, \ln(g) = 0}\)

Więc z twierdzenia o trzech funkcjach: \(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \to (0,0) } x^2 \, \ln(x^2+y^2)=0}\)

Już pierwsza nierówność:
\(\displaystyle{ 0\le x^{2}\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)}\) jest niestety wuja warta, zauważ, że dla \(\displaystyle{ 0<x^{2}+y^{2}<1, \ x>0}\) masz
\(\displaystyle{ x^{2}\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)<0}\).
Za to logarytm naturalny jest funkcją rosnącą, więc tam, gdzie \(\displaystyle{ x}\) się nie zeruje, zaś \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}<1}\), można napisać
\(\displaystyle{ x^{2}\ln \left(x^{2}\right)\le x^{2}\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)\le 0}\)

Dodano po 3 minutach 6 sekundach:
No i oczywiście po drodze z konieczności pojawia się granica typu
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0^{+}}t\ln t}\), która to wynosi zero.