Matematyka.pl

Hej,
Czy ktoś mógłby mi pomóc policzyć wszystkie asymptoty funkcji \(\displaystyle{ f(x)=xe^{2/x}+1 }\)
Wiem jak to zrobić korzystając z reguły de l'Hospitala,
ale musimy obliczyć bez reguły robiąc jakieś przekształcenia
please help

\(\displaystyle{ f(x) = x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \left(x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1\right) = \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{\frac{2}{x}}}{\frac{1}{x}} + 1 = -\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}\left( x\cdot e^{\frac{2}{x}} +1\right) = 0 \cdot 1 + 1 = 1.}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}\left( xe^{\frac{2}{x}} +1\right) \leq \lim_{x\to 0^{+}} e^{\frac{2}{x}} = e^{+\infty} = +\infty}\) (na podstawie nierówności \(\displaystyle{ x\cdot e^{\frac{2}{x}} < e^{\frac{2}{x}} -1 }\), którą należy udowodnić)

Wykres funkcji ma asymptotę pionową prawostronną o równaniu \(\displaystyle{ x = 0 }\) (oś \(\displaystyle{ Oy}\)).

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left(x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1\right) = \lim_{x\to \infty} \frac{e^{\frac{2}{x}}}{\frac{1}{x}} + 1= \frac{1}{0}+1 =\infty.}\)

Równanie asymptoty ukośnej (pochyłej)

\(\displaystyle{ a = \lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to \pm \infty} \left(\frac{xe^{\frac{2}{x}}}{x} + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x\to \pm \infty} \left(e^{\frac{2}{x}} + \frac{1}{x}\right) = 1 + 0 = 1.}\)

\(\displaystyle{ b = \lim_{x\to \pm \infty } (f(x) - ax) = \lim_{x\to \pm \infty} \left(xe^{\frac{2}{x}} +1 -1\cdot x \right) =\lim_{x\to \pm \infty} x\cdot\left(e^{\frac{2}{x}} -1\right)+1 = \lim_{x\to \pm \infty} 2\cdot\left(\frac{e^{\frac{2}{x}}-1}{\frac{2}{x}}\right) + 1 = 2\cdot 1 + 1 = 3.}\)

Wykorzystano wartość granicy \(\displaystyle{ \frac{e^{\frac{2}{x}} -1}{\frac{2}{x}} \rightarrow 1 }\) , gdy \(\displaystyle{ x \to \infty }\)

Wykres funkcji ma asymptotę ukośną (pochyłą) obustronną o równaniu \(\displaystyle{ y = x +3.}\)

janusz47 pisze: ↑17 lis 2022, o 22:39 \(\displaystyle{ f(x) = x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \left(x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1\right) = \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{\frac{2}{x}}}{\frac{1}{x}} + 1 = -\infty}\)

Prościej \(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \left(x\cdot e^{\frac{2}{x}} + 1\right) =-\infty\cdot 1+1=-\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{-}}\left( x\cdot e^{\frac{2}{x}} +1\right) = 0 \cdot 1 + 1 = 1.}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}}\left( xe^{\frac{2}{x}} +1\right) \leq \lim_{x\to 0^{+}} e^{\frac{2}{x}} = e^{+\infty} = +\infty}\) (na podstawie nierówności \(\displaystyle{ x\cdot e^{\frac{2}{x}} < e^{\frac{2}{x}} -1 }\), którą należy udowodnić)

Z faktu że jakieś wyrażenie jest mniejsze od nieskończoności nic nie wynika. A podana nierówność, wyciągnięta z kapelusza) zdecydowanie nie jest prawdziwa dla wszystkich `x` (dla `x=1` dostajemy `e^2<e^2-1`).

Dla dodatnich `x` mamy \(\displaystyle{ e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}}\), zatem \(\displaystyle{ xe^{2/x}>x+2+\frac2x}\)

\(\displaystyle{ xe^{\frac{2}{x}} >e^{\frac{2}{x}} -1}\)

\(\displaystyle{ f(x) = xe^{\frac{2}{x}}-e^{\frac{2}{x}}+1 }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = e^{\frac{2}{x}} - x\cdot \frac{2}{x^2}\cdot e^{\frac{2}{x}}+ \frac{2}{x^2}\cdot e^{\frac{2}{x}} = e^{\frac{2}{x}} \left(1 -\frac{2x}{x^2}+\frac{2}{x^2}\right) = e^{\frac{2}{x}} \left( \frac{x^2 -2x +2}{x^2} \right) >0 }\)

Nierówność powinna być przeciwną, dzięki za zwrócenie uwagi.

Z fakty, że funkcja rośnie nie wynika, że jest dodatnie. W rzeczywistości ona dąży do `-\infty` z prawej strony zera.

Z prawej strony zera funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x\cdot e^{\frac{2}{x}} +1 }\) dąży do \(\displaystyle{ +\infty. }\)

To prawda, się tego nie udowodniłeś. Za to drugi składnik dąży do minus nieskończoności dużo szybciej więc Twój argument z pochodna funkcji jest nic nie warty

Ta krytyka nic nie wnosi. Nie znasz przebiegu funkcji. Present your proof.

Dowód już pokazałem.

Natomiast twoja poprawiona, czy jak wolisz, odwrócona też jest do niczego bo dla `x=1/2` daje
`e^4/2>e^4-1`

Gdzie on jest ?

W moim pierwszym poście w tym wątku

To nie jest dowód.

Faktycznie. To są wskazówki dla myślącego człowieka.
I nie mają takich bledów jak twoje niesprawdzone pomysły, którymi ogłupiasz czytelników

Nie potrafisz przyznać się do błędów, które też popełniasz !

Z tej rozmowy robi się zbyt długi OT.

janusz47 pisze: ↑18 lis 2022, o 17:52 Nie potrafisz przyznać się do błędów, które też popełniasz !

Nie wskazałeś a4karo żadnego konkretnego błędu, który popełnił, więc zarzut jest od czapy.

JK