Matematyka.pl

JK nie wytykam błędów. Najwyżej pytam czy ta ta równość, czy to zdanie jest prawdziwe ?

Dodano po 48 minutach 33 sekundach:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} e^{\frac{2}{x}} + 1 = \infty }\)

Opierając się bezpośrednio na definicji Cauchy'ego granicy funkcji mamy wykazać implikacje:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} e^{\frac{2}{x}} +1 = \infty \Leftrightarrow \bigwedge_{M>0} \bigvee _{\delta >0} \bigwedge_ {x} ( 0 < x < \delta \rightarrow e^{\frac{2}{x}} +1 > M )}\)

Należy dowieść, że prawa strona tej równoważności jest zdaniem prawdziwym.

Analiza zadania, w której poszukujemy liczby \(\displaystyle{ \delta.}\)

Rozwiązujemy nierówność \(\displaystyle{ e^{\frac{2}{x}} > M-1 }\), gdzie \(\displaystyle{ x >0 }\) i \(\displaystyle{ M >1. }\)

Mamy kolejno:

\(\displaystyle{ \frac{2}{x} > \ln( M-1) }\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} < \frac{1}{\ln(M-1)} }\)

\(\displaystyle{ 0 < x < \frac{2}{\ln(M-1)}. }\)

Teraz widać, gdy przyjmiemy \(\displaystyle{ \delta = \frac{2}{\ln(M-1)} }\), to dowód jest zakończony.

Reasumując, niech dane będą: liczba \(\displaystyle{ M >1, \ \ \delta = \frac{2}{\ln(M-1)} }\) oraz dowolne \(\displaystyle{ x }\) takie, że \(\displaystyle{ 0< x < \delta. }\)

Wtedy \(\displaystyle{ 0 < x < \frac{2}{\ln(M-1)}, \ \ \frac{2}{x} > \ln(M-1), \ \ e^{\frac{2}{x}} + 1 > M .}\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

janusz47 pisze: ↑18 lis 2022, o 19:00 \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} e^{\frac{2}{x}} + 1 = \infty }\)

Opierając się bezpośrednio na definicji Cauchy'ego granicy funkcji mamy wykazać implikacje:

No można, ale po co? Nie sądzę, żeby autorka tematu miała takie potrzeby...

Skoro wiemy np., że \(\displaystyle{ e^t>t}\) dla \(\displaystyle{ t\in\RR}\), to \(\displaystyle{ e^{\frac{2}{x}} + 1>\frac{2}{x}+1\mathop{\longrightarrow}_{x \to 0^+}+\infty.}\)

JK

janusz47 pisze: ↑18 lis 2022, o 19:00 JK nie wytykam błędów. Najwyżej pytam czy ta ta równość, czy to zdanie jest prawdziwe ?

Naprawdę uważasz, że To nie jest dowód. lub Nie potrafisz przyznać się do błędów, które też popełniasz ! są PYTANIAMI o prawdziwość zdań?

Jak na razie sformułowałeś dwie nierówności, stwierdziłeś stanowczo, że są prawdziwe i użyłeś ich do pseudo dowodu, po czym okazało się ani jedna ani druga prawdziwe nie są. To kto tu robi błędy i się do nich nie przyznaje?

Jedno musze przyznać: dyskusje z tobą (o ile to są dyskusje, bo to raczej rozmowa z murem) uczą mnie jednej rzeczy - jak powstrzymywać się prze używaniem słów uważanych za obraźliwe

Dodano po 48 minutach 33 sekundach:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} e^{\frac{2}{x}} + 1 = \infty }\)

A do czego niby jest potrzebna ta granica?

Dodano po 46 minutach :
Z asymptotami ukośnymi można sobie poradzić równiez przy pomocy rozwinięcia funkcji wykładniczej w szereg.
Mamy
\(\displaystyle{ e^t=1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+...}\)
Kładąc `t=2/x` dostajemy
\(\displaystyle{ xe^{2/x}+1=x\left(1+\frac2x+\frac1{2!}\left(\frac2x\right)^2+\frac1{3!}\left(\frac2x\right)^3+\frac1{4!}\left(\frac2x\right)^4+...\right)+1\\=x+3+2\red{\left(\frac1{2!}\left(\frac2x\right)++\frac1{3!}\left(\frac2x\right)^2++\frac1{4!}\left(\frac2x\right)^3+...\right)}}\)

Dla `|x|>2` zachodzi \(\displaystyle{ \left|\frac2x\right|^n\leq \left|\frac2x\right|}\), więc wartośc bezwzględną czerwonego wyrażenia możemy oszacować tak:
\(\displaystyle{ \left|\frac1{2!}\left(\frac2x\right)+\frac1{3!}\left(\frac2x\right)^2+\frac1{4!}\left(\frac2x\right)^3+...\right|\leq \frac1{2!}\left|\frac2x\right|++\frac1{3!}\left|\frac2x\right|^2++\frac1{4!}\left|\frac2x\right|^3+...\\
\leq \left|\frac2x\right|\left(\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+...\right)< \left|\frac2x\right|\left(\frac12+\frac14+\frac18+...\right)=\left|\frac2x\right|
}\)
Stąd dla `|x|>2`
\(\displaystyle{ \left|xe^{2/x}+1-(x+3)\right|<\left|\frac4x\right|\to 0}\) gdy `x\to\pm\infty` , więc na mocy definicji prosta `x+3` jest asymptotą obustronną funkcji

Popisujesz się i powtarzasz to co wcześniej zostało obliczone i stwierdzone. Zapominasz o granicy "najwaźniejszej" w tej "dyskusji"

wykres funkcji ma także asymptotę pionową prawostronną o równaniu \(\displaystyle{ x = 0 }\) czyli oś \(\displaystyle{ Oy. }\)

Ale do tego trzeba policzyć granicę w zerze funkcji `xe^{2/x}+1` a nie tę granicę, który ty liczysz.

Spróbuj czytać że zrozumieniem swoje własne posty