Matematyka.pl

jak bedzie(będą) wygladały asymptoty takiej funkcji ?

\(\displaystyle{ y=\frac{2x^3}{(x+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ x \neq -1}\) zatem podejrzana o asymptotę pionową jest prosta \(\displaystyle{ x=-1}\)
Liczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1^- } \frac{2x^3}{(x+1)^2}=[ \frac{-2}{0^+} ]=- \infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1^+ } \frac{2x^3}{(x+1)^2}=[ \frac{-2}{0^+} ]=- \infty}\)

Zatem asymptotą pionową jest prosta:
\(\displaystyle{ x=-1}\)

Szukamy asymptoty ukośnej y=ax+b:
1)lewostronnej:
Liczymy:
\(\displaystyle{ a=\lim_{x \to - \infty } \frac{\frac{2x^3}{(x+1)^2}}{x} =\lim_{x \to - \infty } \frac{2x^3}{x^3+2x^2+x} =2}\)
\(\displaystyle{ b= \lim_{ x\to - \infty } \frac{2x^3}{(x+1)^2}-2x=\lim_{ x\to - \infty } \frac{2x^3-2x(x+1)^2}{(x+1)^2}=\lim_{ x\to - \infty } \frac{-4x^2-2x}{x^2+2x+1}=-4}\)

Czyli asymptota ukośna lewostronna ma równanie \(\displaystyle{ y=2x-4}\)

2)prawostronna (analogicznie jak lewostronna)

a w lewostronnej bierzemy lim przy x------> + nieskonczonosci?

w prawostronnej + nieskończoność