W trójkącie prostokątnym o jednostkowym promieniu wodzącym ,
podać zależność trygonometryczną między dowolnym kątem środkowym ,
a kątem przy podstawie , który jest połowę mniejszym od środkowego .
Tą zależność wykazać bez użycia tablic trygonometrycznych .
( miedzy dowolnym kątem a połową tego kąta ) ?
T.W.
PS. Tablice trygonometryczne podają dwa przypadki takiej zależności.
Zależność trygonometryczna między kątami
-
dzialka11o
- Użytkownik
- Posty: 217
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22354
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
A co to jest promień wodzący trójkąta prostokątnego?
Dodano po 1 minucie 54 sekundach:
Zależność między kątem dowolnym i połową tego kąta wyraża się wzorem `x=2 \cdot x/2`
Dodano po 1 minucie 54 sekundach:
Zależność między kątem dowolnym i połową tego kąta wyraża się wzorem `x=2 \cdot x/2`
-
dzialka11o
- Użytkownik
- Posty: 217
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
OK !
Faktycznie nie jasno się wyraziłem.
W okręgu o promieniu r=1 wpisano trójkąt prostokątny ABC o bokach [b , a, , c ; gdzie c=2 }
Jaka jest zależność trygonometryczna miedzy tymi bokami a kątami przy podstawie tego trójkąta prostokątnego ?
A jaka jest związek między kątem środkowym opartym na tym samym łuku a kątem przy podstawie
opartym na tym samym łuku . Ten kąt jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego ,
Jaka jest relacja trygonometryczna miedzy tymi kątami , wyliczając bez użycia tablic trygonometrycznych .?
TW.
Faktycznie nie jasno się wyraziłem.
W okręgu o promieniu r=1 wpisano trójkąt prostokątny ABC o bokach [b , a, , c ; gdzie c=2 }
Jaka jest zależność trygonometryczna miedzy tymi bokami a kątami przy podstawie tego trójkąta prostokątnego ?
A jaka jest związek między kątem środkowym opartym na tym samym łuku a kątem przy podstawie
opartym na tym samym łuku . Ten kąt jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego ,
Jaka jest relacja trygonometryczna miedzy tymi kątami , wyliczając bez użycia tablic trygonometrycznych .?
TW.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22354
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
A znasz definicje funkcji trygonometrycznych?
-
dzialka11o
- Użytkownik
- Posty: 217
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
Z definicji funkcji trygonometrycznych wnioskujemy :
W trójkącie prostokątnym wpisanym w okrąg jego wysokość jest równa
sinusowi kąta środkowego . Stąd pytanie w jakim stosunku dwusieczna kąta środkowego dzieli
wysokość tego trójkąta ?
........................................................................................................................
Do rozwiązania tego problemu można podejść przez odpowiednie zastosowania twierdzenia cosinusów
dla danego kąta i połowy tego kąta . Ta drogą udało mi się znaleźć tą zależność trygonometryczną .
T.W.
W trójkącie prostokątnym wpisanym w okrąg jego wysokość jest równa
sinusowi kąta środkowego . Stąd pytanie w jakim stosunku dwusieczna kąta środkowego dzieli
wysokość tego trójkąta ?
........................................................................................................................
Do rozwiązania tego problemu można podejść przez odpowiednie zastosowania twierdzenia cosinusów
dla danego kąta i połowy tego kąta . Ta drogą udało mi się znaleźć tą zależność trygonometryczną .
T.W.
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
Z Twierdzenia Sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{\sin(\varepsilon)} = \frac{r'}{\cos(2\varepsilon)} }\)
\(\displaystyle{ h_{2} = r' \sin(\varepsilon) }\)
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{r'\sin(\varepsilon)}{\cos(2\varepsilon)\cdot r'\sin(\varepsilon)} = \frac{1}{\cos(2\varepsilon)}, }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ h_{1} + h_{2} = h }\) - długość wysokości trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg,
\(\displaystyle{ 2\varepsilon }\) - miara kąta środkowego,
\(\displaystyle{ r' }\) - długość dwusiecznej kąta środkowego.
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{\sin(\varepsilon)} = \frac{r'}{\cos(2\varepsilon)} }\)
\(\displaystyle{ h_{2} = r' \sin(\varepsilon) }\)
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{r'\sin(\varepsilon)}{\cos(2\varepsilon)\cdot r'\sin(\varepsilon)} = \frac{1}{\cos(2\varepsilon)}, }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ h_{1} + h_{2} = h }\) - długość wysokości trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg,
\(\displaystyle{ 2\varepsilon }\) - miara kąta środkowego,
\(\displaystyle{ r' }\) - długość dwusiecznej kąta środkowego.
-
dzialka11o
- Użytkownik
- Posty: 217
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
To ciekawa strona
Jaki jest wzór na długość dwusiecznej w dowolnym trójkącie .
https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_trygonometryczne#cite_note-poradnik_234-50Jaki jest wzór na długość dwusiecznej w dowolnym trójkącie .
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
Długość dwusiecznej kąta w trójkącie ostrokątnym
Z twierdzenia kosinusów odpowiednio do trójkątów \(\displaystyle{ ACD, BDC }\):
\(\displaystyle{ m^2 = b^2 + x^2 -2b x \cos(\gamma/2) }\)
\(\displaystyle{ n^2 = a^2 + x^2 -2a x \cos(\gamma/2) }\)
\(\displaystyle{ \frac{m^2}{n^2} = \frac{ b^2 + x^2 -2b x \cos(\gamma/2)}{a^2 + x^2 -2a x \cos(\gamma/2)} }\)
Z proporcji dla dwusiecznej kąta:
\(\displaystyle{ \frac{b}{m} = \frac{a}{n} \rightarrow \frac{n}{m} = \frac{a}{b} }\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2} = \frac{ b^2 + x^2 -2b x \cos(\gamma/2)}{a^2 + x^2 -2a x \cos(\gamma/2)} \ \ (*) }\)
Z \(\displaystyle{ (*) }\) obliczamy długość dwusiecznej \(\displaystyle{ x }\)
\(\displaystyle{ a^2[ b^2 +x^2 -2bx \cos(\gamma/2)] = b^2[ a^2 +x^2 -2ax \cos(\gamma/2)] }\)
\(\displaystyle{ a^2b^2 + a^2x - 2a^2bx \cos(\gamma/2) = a^2b^2 +b^2 x^2 -2ab^2\cos(\gamma/2).}\)
\(\displaystyle{ (a^2-b^2) x^2 -2ab(a-b)\cos(\gamma/2)x = 0 }\)
\(\displaystyle{ x[(a^2-b^2) x -2ab(a-b)\cos(\gamma/2)] = 0, \ \ x\neq 0.}\)
\(\displaystyle{ (a^2 -b^2)x -2ab(a-b)\cos(\gamma/2) = 0 }\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2ab(a-b)\cos(\gamma/2)}{a^2 -b^2} }\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2ab(a-b)\cos(\gamma/2)}{(a-b)(a+b)}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2ab\cos(\gamma/2)}{a+b}.}\)
Dodano po 56 minutach 16 sekundach:
Korekta:
Powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{m}{n} =\frac{b}{a} }\)
\(\displaystyle{ \frac{b^2}{a^2} = \frac{b^2 +x^2 -2bx \cos(\gamma/2)}{a^2+ x^2- 2ax\cos(\gamma/2)}. }\)
Z twierdzenia kosinusów odpowiednio do trójkątów \(\displaystyle{ ACD, BDC }\):
\(\displaystyle{ m^2 = b^2 + x^2 -2b x \cos(\gamma/2) }\)
\(\displaystyle{ n^2 = a^2 + x^2 -2a x \cos(\gamma/2) }\)
\(\displaystyle{ \frac{m^2}{n^2} = \frac{ b^2 + x^2 -2b x \cos(\gamma/2)}{a^2 + x^2 -2a x \cos(\gamma/2)} }\)
Z proporcji dla dwusiecznej kąta:
\(\displaystyle{ \frac{b}{m} = \frac{a}{n} \rightarrow \frac{n}{m} = \frac{a}{b} }\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2} = \frac{ b^2 + x^2 -2b x \cos(\gamma/2)}{a^2 + x^2 -2a x \cos(\gamma/2)} \ \ (*) }\)
Z \(\displaystyle{ (*) }\) obliczamy długość dwusiecznej \(\displaystyle{ x }\)
\(\displaystyle{ a^2[ b^2 +x^2 -2bx \cos(\gamma/2)] = b^2[ a^2 +x^2 -2ax \cos(\gamma/2)] }\)
\(\displaystyle{ a^2b^2 + a^2x - 2a^2bx \cos(\gamma/2) = a^2b^2 +b^2 x^2 -2ab^2\cos(\gamma/2).}\)
\(\displaystyle{ (a^2-b^2) x^2 -2ab(a-b)\cos(\gamma/2)x = 0 }\)
\(\displaystyle{ x[(a^2-b^2) x -2ab(a-b)\cos(\gamma/2)] = 0, \ \ x\neq 0.}\)
\(\displaystyle{ (a^2 -b^2)x -2ab(a-b)\cos(\gamma/2) = 0 }\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2ab(a-b)\cos(\gamma/2)}{a^2 -b^2} }\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2ab(a-b)\cos(\gamma/2)}{(a-b)(a+b)}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2ab\cos(\gamma/2)}{a+b}.}\)
Dodano po 56 minutach 16 sekundach:
Korekta:
Powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{m}{n} =\frac{b}{a} }\)
\(\displaystyle{ \frac{b^2}{a^2} = \frac{b^2 +x^2 -2bx \cos(\gamma/2)}{a^2+ x^2- 2ax\cos(\gamma/2)}. }\)
- Załączniki
-
-
dzialka11o
- Użytkownik
- Posty: 217
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
Super !
To mi się bardzo podoba takie dydaktyczne podejście analityczne krok po kroku.
Warto dodać że wyrażenie tej zależności bez cosinusa to wartość średniej "harmonicznej" dla dwóch wartości .
T.W .
To mi się bardzo podoba takie dydaktyczne podejście analityczne krok po kroku.
Warto dodać że wyrażenie tej zależności bez cosinusa to wartość średniej "harmonicznej" dla dwóch wartości .
T.W .
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
Wg mnie, nie ograniczając kąta, wystarczy zależność polowa (przy oznaczeniach j.w):
\[{1\over2}\cdot b\cdot x\cdot\sin{\gamma\over2}+{1\over2}\cdot x\cdot a\cdot\sin{\gamma\over2}={1\over2}\cdot b\cdot a\cdot\sin\gamma\\ x=\ldots\]
Pozdrawiam
-
dzialka11o
- Użytkownik
- Posty: 217
- Rejestracja: 12 wrz 2012, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
Re: Zależność trygonometryczna między kątami
A jak znaleźć długość dwusiecznej znając tylko jego boki w dowolnym trójkącie?
T.W.
Dodano po 2 godzinach 3 minutach 12 sekundach:
Chodzi mi o tą zależność :
Re: Średnia harmoniczna i długość dwusiecznej .
Post autor: kerajs » 23 maja 2023, o 23:02
T.W.
Dodano po 2 dniach 9 godzinach 8 minutach 30 sekundach:
Pozostała jeszcze jedna kwestia :
A mianowicie : w jakim stosunku dwusieczna kąta dzieli pole dowolnego trójkąta
( w oparciu o oznaczenia trójkąta : załącznik (< janusz47 >)
_
Czy można ten stosunek wykazać w oparciu
twierdzenie van Aubela , ??
Ja tego twierdzenia trochę nie rozumiem .
-
Załącznik :
T.W.
Dodano po 1 dniu 12 godzinach 58 minutach 42 sekundach:
Znając wzór na długość dwusiecznej i odpowiedni bok możemy obliczyć pole Sb jak i pole Sa
stąd możemy obliczyć stosunek tych pól na które dzieli ta dwusieczna ; Sb : Sa = a : b .
T. W.
Dodano po 1 dniu 23 minutach 55 sekundach:
W jakim stosunku dwusieczną o długości ( x ) dzielą dwusieczne pozostałych kątów .?
( przy oznaczeniach jak wyżej )
Z tym pytaniem zwracam się do autor postu : <JHN > . (lub o wskazówki )
Niby prosty problem ale bardzo zawiły. ???
T.W.
Dodano po 1 dniu 8 godzinach 48 minutach 26 sekundach:
Moje spostrzeżenia ;
Dwusieczne przy podstawie dzielą dwusieczna (x ) w tym samym stosunku .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
( Bei stumfem Winkel wird der Kosinus negatiw!) .
Projektionssatz
c = a cos(beta) + b cos(alfa)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
{ Przykładowo w trójkącie równobocznym dwusieczna dzieli dwusieczną w stosunku 2/3 }
T,W,
Dodano po 4 dniach 1 godzinie 34 minutach 55 sekundach:
W jakim stosunku dwusieczną o długości ( x ) dzielą dwusieczne pozostałych kątów .?
( przy oznaczeniach jak wyżej ) ?
W podany trójkąt wpiszmy okrąg . (r)
Dwusieczne kątów przecinają się w środku tego okręgu wpisanego .
Wyznaczmy prostopadłe ze środka okręgu wpisanego do boków tego trójkąta .
Zbudujmy deltoid na boku który nas interesuje .
Przykładowo na boku (a) , Przekątne tego deltoidu to bok (a)
i drugą tą mniejszą o długość ( 2r ) ,, ( przecinające się pod kątem prostym )
Z własności wynikających z deltoidu ( i odpowiednio z twierdzenia Pitagorasa )
znajdziemy tą szukaną odległość między środkiem okręgu wpisanego
a wierzchołkiem ( C ) ,, oznaczmy ją ( k )
Stosunek tej wielkości k /x to właśnie ta szukana zależność .
(podobnie postępujemy w przypadku gdy jeden z kątów w dowolnym trójkącie jest rozwarty ) .
T.W.
Dodano po 2 godzinach 10 minutach 38 sekundach:
Odkładamy te deltoidy na zewnątrz interesujących nas boków .
Kąty wewnętrzne przyległe do najdłuższych przekątnych w deltoidzie są sobie równe ,
a suma tych kątów jest równa odpowiednim kątom przy wierzchołkach tego trójkąta.
( w każdy deltoid można wpisać okrąg , a to z faktu że sumy przeciwległych boków w deltoidach są sobie równe ) .
W trójkącie równobocznym odpowiednikiem deltoidu jest romb .
T.W.
T.W.
Dodano po 2 godzinach 3 minutach 12 sekundach:
Chodzi mi o tą zależność :
Re: Średnia harmoniczna i długość dwusiecznej .
Post autor: kerajs » 23 maja 2023, o 23:02
T.W.
Dodano po 2 dniach 9 godzinach 8 minutach 30 sekundach:
Pozostała jeszcze jedna kwestia :
A mianowicie : w jakim stosunku dwusieczna kąta dzieli pole dowolnego trójkąta
( w oparciu o oznaczenia trójkąta : załącznik (< janusz47 >)
_
Czy można ten stosunek wykazać w oparciu
twierdzenie van Aubela , ??
Ja tego twierdzenia trochę nie rozumiem .
-
Załącznik :
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_van_AubelaT.W.
Dodano po 1 dniu 12 godzinach 58 minutach 42 sekundach:
Znając wzór na długość dwusiecznej i odpowiedni bok możemy obliczyć pole Sb jak i pole Sa
stąd możemy obliczyć stosunek tych pól na które dzieli ta dwusieczna ; Sb : Sa = a : b .
T. W.
Dodano po 1 dniu 23 minutach 55 sekundach:
W jakim stosunku dwusieczną o długości ( x ) dzielą dwusieczne pozostałych kątów .?
( przy oznaczeniach jak wyżej )
Z tym pytaniem zwracam się do autor postu : <JHN > . (lub o wskazówki )
Niby prosty problem ale bardzo zawiły. ???
T.W.
Dodano po 1 dniu 8 godzinach 48 minutach 26 sekundach:
Moje spostrzeżenia ;
Dwusieczne przy podstawie dzielą dwusieczna (x ) w tym samym stosunku .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
( Bei stumfem Winkel wird der Kosinus negatiw!) .
Projektionssatz
c = a cos(beta) + b cos(alfa)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
{ Przykładowo w trójkącie równobocznym dwusieczna dzieli dwusieczną w stosunku 2/3 }
T,W,
Dodano po 4 dniach 1 godzinie 34 minutach 55 sekundach:
W jakim stosunku dwusieczną o długości ( x ) dzielą dwusieczne pozostałych kątów .?
( przy oznaczeniach jak wyżej ) ?
W podany trójkąt wpiszmy okrąg . (r)
Dwusieczne kątów przecinają się w środku tego okręgu wpisanego .
Wyznaczmy prostopadłe ze środka okręgu wpisanego do boków tego trójkąta .
Zbudujmy deltoid na boku który nas interesuje .
Przykładowo na boku (a) , Przekątne tego deltoidu to bok (a)
i drugą tą mniejszą o długość ( 2r ) ,, ( przecinające się pod kątem prostym )
Z własności wynikających z deltoidu ( i odpowiednio z twierdzenia Pitagorasa )
znajdziemy tą szukaną odległość między środkiem okręgu wpisanego
a wierzchołkiem ( C ) ,, oznaczmy ją ( k )
Stosunek tej wielkości k /x to właśnie ta szukana zależność .
(podobnie postępujemy w przypadku gdy jeden z kątów w dowolnym trójkącie jest rozwarty ) .
T.W.
Dodano po 2 godzinach 10 minutach 38 sekundach:
Odkładamy te deltoidy na zewnątrz interesujących nas boków .
Kąty wewnętrzne przyległe do najdłuższych przekątnych w deltoidzie są sobie równe ,
a suma tych kątów jest równa odpowiednim kątom przy wierzchołkach tego trójkąta.
( w każdy deltoid można wpisać okrąg , a to z faktu że sumy przeciwległych boków w deltoidach są sobie równe ) .
W trójkącie równobocznym odpowiednikiem deltoidu jest romb .
T.W.