Matematyka.pl

Podaj wymiary boków w [ cm ] trójkąta o bokach w liczbach całkowitych
którego pole jest dwa razy większe od jego obwodu ,
którego żaden z jego kątów nie jest kątem prostym .
-----------.
( Nadmieniam : gdy boki trójkąt egipskiego powiększymy dwa razy
to pole tego otrzymanego trójkąta egipskiego jest dwa razy wieksze od jego obwodu .)

T.W,

Weżmu trzy,odcinki o dlugościach 2 , 3 ,4 , ( podanych w [ cm] )
zbudujmy z tych odcinków trójkąt ,
obliczmy obwód tego trójkąta.
ze wzoru Herona oblizmy pole tego trójkąta .
2, , 3, 4 , ten trojkąt nie spełnia warunków podany w zadaniu , ( jeśli nie to szukamy dalej )
3. , 4, 5, to trójkąt egipski ,( powiększony dwukrotnie też nie spełnia warunków podanych w zadaniu .)
4, 5, 6,
--------, itd.
5, 6, 7 ,
6, 7 , 8
------, itd,
11 , 12 , 13 ,
12 , 13 , 14 ,
[13 , 14 , 15] , o tych wymiarach ten trójkąt spełnia waruki zadania ,( pole tego trójkąta jest dwa razy większe od obwodu)
----------------------------------------------------------------------------------------------------- ,
-------, itd.
14 , 15, , 16
15 , 16 , 17 ,
------- itd.
To trójkąt indyjski znany starożytnym geodetom .
Dla dociekliwych .:
Okazuje się że jest i taki trójkąt prostokatny, którego pole jest dwa razy większe od jego obwodu .
Jakie wymiary ma ten szukany trójkąt ?
T.W.

Zauważmy ;
1)Jeżeli najmniejszy trójkąt egipski powiekszymy 4-krotnie to pole tego trójkąta równe jest jego obwodowi
Jeśli ten otrzymany trójkąt ponownie powiekszymy dwukrotnie ,
to pole tego trójkąta jest dwa razy większe od jego obwodu ,
-trójkat ten spełnia warunki podane w temacie zadania .
-------,
2) trójkąt o wymiarach 5, 12 , 13 , w [ cm]
pole tego trójkąta jest równe obwodowi .
jeśli ten trójkąt powiększymy dwukrotnie to pole tego trójkąta jest
dwa razy wieksze od jego obwodu,
-trójkąt ten również spełnia warunki podane w temacie zadania .
------,
3) jest i taki trójkat którego popole jest równe jego obwodowi :
to trojkąt o wymiarach 7, 15, 20,,
jeśli ten trójkąt powiększymy dwukrotnie to pole tego trójkąta jest
dwa razy większe od jego obwodu,
-trójkąt ten również spełnia warunki podane w temacie zadania .
( obwód tego trójkąta jest równy obwodowi trójkąta indyjskiego)
-------,j
(Trójkąt podany w puktcie 2), to kolejny prostokątny trójkąt pitagorejski pierwotny .)
T.W.

Ciąg dalszy :
4)jeśli trójkąt egipski powiększymy dwukrotnie to otrzymamy trójkąt egipski o wymiarach w( cm)
6, 8, 10 ; którego pole jest równe obwodowi P=24 , s=24
5) trójkąt o wymiarach 13 ,4 , 15 ma pole P=24 i obwód s =32
Pola wykazane w punktcie 4) i w punktcie 5 ) są takie same .
6) pole trójkąta indyjskiego jest sumą pola
egipskiego powiększonego trzykrotnie o wymiarach 12, 9 ,15 ,, o polu P =54
i pola trójkąta 12, 5 ,13 ; o polu P=30 ; ( którego pole jest równe obwodowi )

T,W.

Sprostowanie dotyczące punktu 1)
powinno być napisane jak poniżej :
-
Zauważmy ;
1)Jeżeli najmniejszy trójkąt egipski o wymiarach jego boków 3 , 4 , 5 w ( cm)
powiększymy dwukrotnie to otrzymamy trójkąt o wymiarach ; 6 ,8, ,10
którego pole jest rowne jego obwodowi , P=24 , s=24
Jeśli ten otrzymany trójkąt "ponownie" powiekszymy dwukrotnie ,
to otrzymamy trójkąt prostokątny o wymiarach 12, 16, 20 o polu P=96 ,i obwodzie s=48
pole tego trójkąta jest dwa razy większe od jego obwodu ,
(trójkąt ten spełnia warunki podane w temacie zadania .)
T.W.

Uzasadnić że w trójkącie indyjskim o bokach 13 ,14 , 15 , w (cm ); kąt między jago podstawą 15 i bokiem 14
jest równy kątowi w trójkącie egipskim 3, 4, 5, między podstawą 5 a jego bokiem 3
(bez sięgania do wzoru z twierdznia cosinusów (Carnota) , które Heronowi
jak i innym geodetom z ówczesnego okresu, być może nie było znane .)
-
[ Jeśli chodzi o przyjęte jednostki miary to mogą być inne : (m ) , (km) , (łokcie) . (mile),( cale ) Itp ,
ale zawsze w liczbach calkowitych .]
T.W.