Matematyka.pl

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość h i jest 5 razy krótsza od obwodu tego trójkąta. Oblicz długości boków trójkąta.

(Zadanie z Kiełbasy, nr.36)

proszę o pomoc
Marie

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} a\cdot b \,=\, \frac{1}{2} h\cdot c}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}\,=\,c^{2}}\)
\(\displaystyle{ a + b + c \,=\, 5\cdot h}\)

CZY KTOŚ MÓGŁBY ROZWIĄZAĆ MI TEN UKŁAD RÓWNAŃ BO JUŻ WYMIĘKAM NIE MOGĘ W ŻADEN SPOSÓB GO ROZKMINIĆ

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\,=\,\frac{1}{2}\cdot h\cdot c}\)
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}\,=\,c^{2}}\)
\(\displaystyle{ a + b + c\,=\,5\cdot h}\)
To jest układ trzech równań o czterech niewiadomych. Zatem, potraktujmy "c" jako parametr.
Z trzeciego równania wyliczam h i podstawiam do pierwszego.
\(\displaystyle{ h\,=\,\frac{ a + b + c }{5}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\,=\,\frac{1}{2}\cdot (\frac{ a + b + c }{5})\cdot c}\)
\(\displaystyle{ a\cdot \frac{b}{2}\,=\,c\cdot \frac{ a + b + c }{10}}\)
\(\displaystyle{ a\cdot (5\cdot b - c) - c\cdot (b + c)\,=\,0}\)
\(\displaystyle{ a\,=\,c\cdot \frac{ b + c }{ 5\cdot b - c }}\)
Teraz podstawiam do drugiego.
\(\displaystyle{ (c\cdot \frac{ b + c }{ 5\cdot b - c })^{2} + b^{2}\,=\,c^{2}}\)
\(\displaystyle{ b\cdot (b + c)\cdot (5\cdot b - 4\cdot c)\cdot (5\cdot b - 3\cdot c)\,=\,0}\)
Otrzymuję rozwiązania :
\(\displaystyle{ b_1\,=\,0}\)
\(\displaystyle{ b_2\,=\, - c}\)
\(\displaystyle{ b_3\,=\,3\cdot \frac{c}{5}}\)
\(\displaystyle{ b_4\,=\,4\cdot \frac{c}{5}}\)
Pierwsze dwa pomijam.
Dla
\(\displaystyle{ b:\,=\,3\cdot \frac{c}{5}}\)
\(\displaystyle{ a\,=\,c\cdot \frac{ b + c }{ 5\cdot b - c }}\)
\(\displaystyle{ a\,=\,4\cdot \frac{c}{5}}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,12\cdot \frac{c}{25}}\)
Dla
\(\displaystyle{ b\,=\,4\cdot \frac{c}{5}}\)
\(\displaystyle{ a\,=\,3\cdot \frac{c}{5}}\)
\(\displaystyle{ h\,=\,12\cdot \frac{c}{25}}\)

Jak widać rozwiązaniem jest rodzina trójkątów podobnych,
których stosunek boków jest jak 3:4:5.

dzięki przyjacielu