Matematyka.pl

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), na boku \(\displaystyle{ AC}\) leżą takie punkty \(\displaystyle{ D}\) oraz \(\displaystyle{ F}\), że zachodzi zależność \(\displaystyle{ \left| CD\right|=\left| AF\right|=2\left| DF\right| }\), a na boku \(\displaystyle{ BC}\) leżą takie punkty \(\displaystyle{ E}\) oraz \(\displaystyle{ G}\), że prawdziwe są równości \(\displaystyle{ \left| CE\right|=\left| BG\right|=2\left| EG\right| }\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \left| AB\right| =\left| DE\right|+\left| FG\right| }\).

\(\displaystyle{ |AF| = |CD| = 2|DF| \rightarrow |AD| = |DF| = |FC|}\)
czyli innymi słowy odcinek \(\displaystyle{ AC}\) jest podzielony na 3 równe części
analogicznie
\(\displaystyle{ |BD| = |DG| = |GC|}\)

i z tw. Talesa można pokazać teraz np.
\(\displaystyle{ \frac{|CF|}{|FG|} = \frac{|CD|}{|DE|} = \frac{|CA|}{|AB|}\\
|CD| = 2|CF| \rightarrow |DE| = 2|FG|\\
|CA| = |CF| + |FA| = 3|CF| \rightarrow |AB| = 3|FG| = |FG| + |DE|}\)