Matematyka.pl

W trójkącie rozwartokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) dane są długości boków: \(\displaystyle{ |AB|=3\sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ |BC|=3-\sqrt{3}}\), \(\displaystyle{ |AC|=2\sqrt{3}}\). Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ ACB}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Chciałbym zrobić to zadanie korzystając z twierdzenia sinusów, ale dostaję układ równań, którego nie mogę rozwiązać.

A ktoś zabronił z kosinusów ?

[edit] Albo poprowadź wysokość \(\displaystyle{ AD}\) i z Pitagorasa wyznacz \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Potem tangensa kąta \(\displaystyle{ ACD}\) - ładny jest.

Z kosinusów to wiem, że można i nawet tak potrafię, ale to zadanie jest w temacie "Twierdzenie sinusów" i chciałbym zrobić je z twierdzenia sinusów. Chyba, że się nie da? Ale to proszę o jakiś komentarz co do tego.

Na razie dopisałem coś w poprzednim.
Spojrzę na sinusy.

[edit] Naciągnę do tw. sinusów (bo układu nie mam zamiaru rozkminiać). Kąt \(\displaystyle{ ACD = A + B}\) (sorki za oznaczenia). Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ ADC}\) (po wyznaczeniu jego boków z Pitagorasa) dostanę sinusa kąta \(\displaystyle{ ACD}\), więc i kąt \(\displaystyle{ ACD}\).
I mamy zastosowanie tw. sinusów.

Faktycznie trochę naciągane to rozwiązanie do tw. sinusów, ale ok. Rozumiem, że boki tego trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\) wyznaczasz z równań:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=12}\) i \(\displaystyle{ x^2+(y+3-\sqrt{3})^2=18}\), zgadza się? Dalej już widzę.

No dobra, bo wciąż mnie trochę zastanawia ten układ równań:
\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2}}{\sin \gamma}= \frac{2\sqrt{3}}{\sin \beta}= \frac{3-\sqrt{3}}{\sin \alpha}=2R }\).

Bo cały czas wydaje mi się, że autor zadania chce to robić tą drogą, więc spytam czy próba rozwiązywania tego doprowadzi nas dokądś, czy raczej jest to zły trop?

Dodano po 14 godzinach 57 minutach 51 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć odnośnie tego?

Dodano po 10 godzinach 8 minutach 48 sekundach:
Podbijam pytanie.

Dodano po 23 godzinach 27 minutach 18 sekundach:
Czy ten układ równań da się jakoś w miarę łatwo rozwiązać?

Można od razu z przekształcenia wzoru Herona \(\displaystyle{ \sin(A)= \frac{2}{bc} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }\).

Startujemy z
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R}\).

Ze wzoru na sinus sumy
\(\displaystyle{ \sin\gamma=\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\).
Dalej
\(\displaystyle{ c=2R\sin\gamma=2R\sin\alpha\cos\beta+2R\cos\alpha\sin\beta=a\cos\beta + b\cos\alpha.}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{1-\cos^2\alpha}=\frac{a^2}{\sin^2\alpha}=\frac{b^2}{\sin^2\beta}=\frac{b^2}{1-\cos^2\beta}}\).

Jak podstawimy \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{c-b\cos\alpha}{a}}\) do drugiego równania, to wychodzi teza twierdzenia cosinusów.

Osobiście nie widzę żadnej korzyści w rozwiązaniu tego zadania w ten sposób w porównaniu ze zwyczajnym zastosowaniem twierdzenia cosinusów.

Najbardziej eleganckie rozwiązanie!

Jeżeli już musisz, to napisz tak:
Z twierdzenia sinusów ....., a stosując twierdzenie kosinusów dostajemy ....

NB: to jest metoda na zdanie matury: w każdym zadaniu powołać się na twierdzenie Pitagorasa. Może nie mieć sensu, ale przyniesie jakieś punkty.

a4karo pisze: ↑9 paź 2023, o 17:38NB: to jest metoda na zdanie matury: w każdym zadaniu powołać się na twierdzenie Pitagorasa. Może nie mieć sensu, ale przyniesie jakieś punkty.

Niekoniecznie.

JK