W trójkącie rozwartokątnym
-
- Użytkownik
- Posty: 3396
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
W trójkącie rozwartokątnym
W trójkącie rozwartokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) dane są długości boków: \(\displaystyle{ |AB|=3\sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ |BC|=3-\sqrt{3}}\), \(\displaystyle{ |AC|=2\sqrt{3}}\). Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ ACB}\).
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Chciałbym zrobić to zadanie korzystając z twierdzenia sinusów, ale dostaję układ równań, którego nie mogę rozwiązać.
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Chciałbym zrobić to zadanie korzystając z twierdzenia sinusów, ale dostaję układ równań, którego nie mogę rozwiązać.
-
- Użytkownik
- Posty: 23497
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: W trójkącie rozwartokątnym
A ktoś zabronił z kosinusów ?
[edit] Albo poprowadź wysokość \(\displaystyle{ AD}\) i z Pitagorasa wyznacz \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Potem tangensa kąta \(\displaystyle{ ACD}\) - ładny jest.
[edit] Albo poprowadź wysokość \(\displaystyle{ AD}\) i z Pitagorasa wyznacz \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Potem tangensa kąta \(\displaystyle{ ACD}\) - ładny jest.
-
- Użytkownik
- Posty: 3396
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: W trójkącie rozwartokątnym
Z kosinusów to wiem, że można i nawet tak potrafię, ale to zadanie jest w temacie "Twierdzenie sinusów" i chciałbym zrobić je z twierdzenia sinusów. Chyba, że się nie da? Ale to proszę o jakiś komentarz co do tego.
-
- Użytkownik
- Posty: 23497
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: W trójkącie rozwartokątnym
Na razie dopisałem coś w poprzednim.
Spojrzę na sinusy.
[edit] Naciągnę do tw. sinusów (bo układu nie mam zamiaru rozkminiać). Kąt \(\displaystyle{ ACD = A + B}\) (sorki za oznaczenia). Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ ADC}\) (po wyznaczeniu jego boków z Pitagorasa) dostanę sinusa kąta \(\displaystyle{ ACD}\), więc i kąt \(\displaystyle{ ACD}\).
I mamy zastosowanie tw. sinusów.
Spojrzę na sinusy.
[edit] Naciągnę do tw. sinusów (bo układu nie mam zamiaru rozkminiać). Kąt \(\displaystyle{ ACD = A + B}\) (sorki za oznaczenia). Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ ADC}\) (po wyznaczeniu jego boków z Pitagorasa) dostanę sinusa kąta \(\displaystyle{ ACD}\), więc i kąt \(\displaystyle{ ACD}\).
I mamy zastosowanie tw. sinusów.
-
- Użytkownik
- Posty: 3396
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: W trójkącie rozwartokątnym
Faktycznie trochę naciągane to rozwiązanie do tw. sinusów, ale ok. Rozumiem, że boki tego trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\) wyznaczasz z równań:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=12}\) i \(\displaystyle{ x^2+(y+3-\sqrt{3})^2=18}\), zgadza się? Dalej już widzę.
No dobra, bo wciąż mnie trochę zastanawia ten układ równań:
\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2}}{\sin \gamma}= \frac{2\sqrt{3}}{\sin \beta}= \frac{3-\sqrt{3}}{\sin \alpha}=2R }\).
Bo cały czas wydaje mi się, że autor zadania chce to robić tą drogą, więc spytam czy próba rozwiązywania tego doprowadzi nas dokądś, czy raczej jest to zły trop?
Dodano po 14 godzinach 57 minutach 51 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć odnośnie tego?
Dodano po 10 godzinach 8 minutach 48 sekundach:
Podbijam pytanie.
Dodano po 23 godzinach 27 minutach 18 sekundach:
Czy ten układ równań da się jakoś w miarę łatwo rozwiązać?
\(\displaystyle{ x^2+y^2=12}\) i \(\displaystyle{ x^2+(y+3-\sqrt{3})^2=18}\), zgadza się? Dalej już widzę.
No dobra, bo wciąż mnie trochę zastanawia ten układ równań:
\(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2}}{\sin \gamma}= \frac{2\sqrt{3}}{\sin \beta}= \frac{3-\sqrt{3}}{\sin \alpha}=2R }\).
Bo cały czas wydaje mi się, że autor zadania chce to robić tą drogą, więc spytam czy próba rozwiązywania tego doprowadzi nas dokądś, czy raczej jest to zły trop?
Dodano po 14 godzinach 57 minutach 51 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć odnośnie tego?
Dodano po 10 godzinach 8 minutach 48 sekundach:
Podbijam pytanie.
Dodano po 23 godzinach 27 minutach 18 sekundach:
Czy ten układ równań da się jakoś w miarę łatwo rozwiązać?
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11480
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3158 razy
- Pomógł: 749 razy
Re: W trójkącie rozwartokątnym
Można od razu z przekształcenia wzoru Herona \(\displaystyle{ \sin(A)= \frac{2}{bc} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: W trójkącie rozwartokątnym
Startujemy z
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R}\).
Ze wzoru na sinus sumy
\(\displaystyle{ \sin\gamma=\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\).
Dalej
\(\displaystyle{ c=2R\sin\gamma=2R\sin\alpha\cos\beta+2R\cos\alpha\sin\beta=a\cos\beta + b\cos\alpha.}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{1-\cos^2\alpha}=\frac{a^2}{\sin^2\alpha}=\frac{b^2}{\sin^2\beta}=\frac{b^2}{1-\cos^2\beta}}\).
Jak podstawimy \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{c-b\cos\alpha}{a}}\) do drugiego równania, to wychodzi teza twierdzenia cosinusów.
Osobiście nie widzę żadnej korzyści w rozwiązaniu tego zadania w ten sposób w porównaniu ze zwyczajnym zastosowaniem twierdzenia cosinusów.
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R}\).
Ze wzoru na sinus sumy
\(\displaystyle{ \sin\gamma=\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\).
Dalej
\(\displaystyle{ c=2R\sin\gamma=2R\sin\alpha\cos\beta+2R\cos\alpha\sin\beta=a\cos\beta + b\cos\alpha.}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{1-\cos^2\alpha}=\frac{a^2}{\sin^2\alpha}=\frac{b^2}{\sin^2\beta}=\frac{b^2}{1-\cos^2\beta}}\).
Jak podstawimy \(\displaystyle{ \cos\beta=\frac{c-b\cos\alpha}{a}}\) do drugiego równania, to wychodzi teza twierdzenia cosinusów.
Osobiście nie widzę żadnej korzyści w rozwiązaniu tego zadania w ten sposób w porównaniu ze zwyczajnym zastosowaniem twierdzenia cosinusów.
-
- Użytkownik
- Posty: 22235
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: W trójkącie rozwartokątnym
Jeżeli już musisz, to napisz tak:
Z twierdzenia sinusów ....., a stosując twierdzenie kosinusów dostajemy ....
NB: to jest metoda na zdanie matury: w każdym zadaniu powołać się na twierdzenie Pitagorasa. Może nie mieć sensu, ale przyniesie jakieś punkty.
Z twierdzenia sinusów ....., a stosując twierdzenie kosinusów dostajemy ....
NB: to jest metoda na zdanie matury: w każdym zadaniu powołać się na twierdzenie Pitagorasa. Może nie mieć sensu, ale przyniesie jakieś punkty.
-
- Administrator
- Posty: 34348
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy