Pokazać, że
Twierdzenie Clough'a
-
- Użytkownik
- Posty: 22242
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Twierdzenie Clough'a
Punkt `P` leży wewnątrz trójkąta równobocznego `ABC`, a punkty `D,E,F` są jego rzutami prostokątnymi na boki `AB, BC, CA` odpowiednio.
Pokazać, że
Pokazać, że
\(\displaystyle{ AD+BE+CF=BD+AF+CE}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8591
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3353 razy
Re: Twierdzenie Clough'a
Przypadek, gdy \(\displaystyle{ P}\) leży na symetralnej trójkąta jest trywialny.
Niech \(\displaystyle{ P}\) leży najbliżej boku \(\displaystyle{ AC}\) i bliżej \(\displaystyle{ C}\) niż \(\displaystyle{ A}\). Prosta \(\displaystyle{ PF}\) przecina \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ B'}\), a \(\displaystyle{ A'}\) jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ A'B'C.}\) Przez \(\displaystyle{ P'}\) oznaczam przecięcie \(\displaystyle{ PD}\) z \(\displaystyle{ A'B'.}\) Ponadto niech \(\displaystyle{ A''}\) i \(\displaystyle{ B''}\) będą rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\) na \(\displaystyle{ AB.}\)
W powyższym trójkącie zachodzą równości
\(\displaystyle{ A'F=CF\\
CE=A'P'=A''D\\
B''D=B'P'=EB'\\
BB''=BB'\\
AA'=AA''}\)
Wystarczy dodać skrajne lewe i skrajne prawe odcinki, a dostanie się tezę.
Niech \(\displaystyle{ P}\) leży najbliżej boku \(\displaystyle{ AC}\) i bliżej \(\displaystyle{ C}\) niż \(\displaystyle{ A}\). Prosta \(\displaystyle{ PF}\) przecina \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ B'}\), a \(\displaystyle{ A'}\) jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ A'B'C.}\) Przez \(\displaystyle{ P'}\) oznaczam przecięcie \(\displaystyle{ PD}\) z \(\displaystyle{ A'B'.}\) Ponadto niech \(\displaystyle{ A''}\) i \(\displaystyle{ B''}\) będą rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\) na \(\displaystyle{ AB.}\)
W powyższym trójkącie zachodzą równości
\(\displaystyle{ A'F=CF\\
CE=A'P'=A''D\\
B''D=B'P'=EB'\\
BB''=BB'\\
AA'=AA''}\)
Wystarczy dodać skrajne lewe i skrajne prawe odcinki, a dostanie się tezę.
Ostatnio zmieniony 23 gru 2023, o 12:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 473 razy
Re: Twierdzenie Clough'a
jeśli bok trójkąta równobocznego jest równy \(a\), to \(\displaystyle{ \begin{align*}AD-DB+BE-EC+CF-FA&=\frac{(AD+DB)(AD-DB)+(BE+EC)(BE-EC)+(CF+FA)(CF-FA)}{a}\\&=\frac{AD^2-DB^2+BE^2-EC^2+CF^2-FA^2}{a}\\&=\frac{AP^2-PB^2+BP^2-PC^2+CP^2-PA^2}{a}\\&=0\end{align*}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22242
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Twierdzenie Clough'a
R. Viglione (Math. Mag. 96:3 p354) narysował trzy trójkaty równobocze o wspólnym wierzchołku `P` i oparte na bokach i powiedział: PATRZ.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8591
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3353 razy
Re: Twierdzenie Clough'a
Ogólnie, nie jest to prawdą
Fakt, zamiast opisu z 23 gru 2023, 09:12 mogłem wstawić grafikę i napisać
PATRZ: