Matematyka.pl

Punkt `P` leży wewnątrz trójkąta równobocznego `ABC`, a punkty `D,E,F` są jego rzutami prostokątnymi na boki `AB, BC, CA` odpowiednio.

Pokazać, że

Przypadek, gdy \(\displaystyle{ P}\) leży na symetralnej trójkąta jest trywialny.
Niech \(\displaystyle{ P}\) leży najbliżej boku \(\displaystyle{ AC}\) i bliżej \(\displaystyle{ C}\) niż \(\displaystyle{ A}\). Prosta \(\displaystyle{ PF}\) przecina \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ B'}\), a \(\displaystyle{ A'}\) jest wierzchołkiem trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ A'B'C.}\) Przez \(\displaystyle{ P'}\) oznaczam przecięcie \(\displaystyle{ PD}\) z \(\displaystyle{ A'B'.}\) Ponadto niech \(\displaystyle{ A''}\) i \(\displaystyle{ B''}\) będą rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\) na \(\displaystyle{ AB.}\)
W powyższym trójkącie zachodzą równości
\(\displaystyle{ A'F=CF\\
CE=A'P'=A''D\\
B''D=B'P'=EB'\\
BB''=BB'\\
AA'=AA''}\)
Wystarczy dodać skrajne lewe i skrajne prawe odcinki, a dostanie się tezę.

A teraz uogólnić to na dowolny trójkąt...

jeśli bok trójkąta równobocznego jest równy \(a\), to \(\displaystyle{ \begin{align*}AD-DB+BE-EC+CF-FA&=\frac{(AD+DB)(AD-DB)+(BE+EC)(BE-EC)+(CF+FA)(CF-FA)}{a}\\&=\frac{AD^2-DB^2+BE^2-EC^2+CF^2-FA^2}{a}\\&=\frac{AP^2-PB^2+BP^2-PC^2+CP^2-PA^2}{a}\\&=0\end{align*}}\)

R. Viglione (Math. Mag. 96:3 p354) narysował trzy trójkaty równobocze o wspólnym wierzchołku `P` i oparte na bokach i powiedział: PATRZ.

niesamowita historia

pokażesz jego rysunek?

arek1357 pisze: ↑23 gru 2023, o 10:33 A teraz uogólnić to na dowolny trójkąt...

Ogólnie, nie jest to prawdą

a4karo pisze: ↑23 gru 2023, o 20:24 R. Viglione (Math. Mag. 96:3 p354) narysował (...) i powiedział: PATRZ.

Fakt, zamiast opisu z 23 gru 2023, 09:12 mogłem wstawić grafikę i napisać