Matematyka.pl

arek1357 pisze: ↑12 lut 2024, o 00:44 tak zawsze taki jest

Ile razy trzeba powtarzać, żebyś myślał, zanim napiszesz. A jak napiszesz, to przeczytaj i pomyśl drugi raz.

Wyobrażmy sobie trójkąt o wierzchołkach `A(-1,0), B(1,0), C(0,\sqrt{n^2-1})`. Boki `AC` i `BC` maja długość `n`, a odcinki do nich równoległe o długości `n/2` przecinaja sie w punkcie `(0,0)`. Stąd wniosek, że dla `n>4` odcinki o długości mniejszej niż `2` (czyli takim jak dowolny odcinek równoległy do `AB`) równoległe do boków `AB` i `BC` nie przecinają się wewnątrz trójkąta.


Warto zastanowiść się jakie warunki muszą być spełnione, żeby taki punkt istniał.
Niech `\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c` będzą współrzednymi barycentrycznymi w trójkącie `ABC rozdział Barycentric coordinates on triangles)
Odcinki przechodzące przez punkt `(\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c)` i równoległe do boków trójkąta mają długości `(1-\lambda_a)a`, `(1-\lambda_b)b` i `(1-\lambda_c)c`,

Rozwiazując układ równań
`(1-\lambda_a)a=(1-\lambda_b)b=(1-\lambda_c)c` i `\lambda_a+\lambda_b+\lambda_c=1`
dostajemy rozwiązanie
\(\displaystyle{ \lambda_a=\frac{ab-bc+ca}{ab+bc+ca},\lambda_b=\frac{ab+bc-ca}{ab+bc+ca}, \lambda_c=\frac{-ab+bc+ca}{ab+bc+ca},\ }\)

Ten punkt leży wewnątrz trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie te liczby są dodatnie. W przypadku `a\le b\le c` oznacza to, że `ab+ac>bc`.

Ponieważ w trójkącie (przy standardowych oznaczeniach) mamy `ah_a=bh_b=ch_c`, więc
\(\displaystyle{ \frac{\pm ab\pm bc\pm ca}{ab+bc+ca}=\frac{\pm\frac1c\pm\frac1a\pm\frac1b}{\frac1c+\frac1a+\frac1b}=\frac{\pm h_c\pm h_a\pm h_b}{h_c+h_a+h_b}}\),
co pozwala na takie sformułowanie eleganckie sformułowanie:
W trójkącie istnieje punkt spełniający warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy z jego wysokości można ułożyć trójkąt