Matematyka.pl

Proszę o jak najszybszą pomoc w rozwiazaniu tegoz oto zadania: Wykaż, że jeżeli suma wysokości trójkąta jest 9 razy większa od promienia okręgu wpisanego to ten trójkąt jest równoboczny. Probowalam juz na wiele sposobow wyznaczac wysokosci i potem cos kombinowac.. ale niestety chyba mi sie nie udalo. Z gory dziekuje za pomoc:)

Oznaczmy długość okręgu wpisanego przez r, pole trójkata przez S, boki tego trójkąta przez a,b,c, odpowiednie wysokości zaś \(\displaystyle{ h_a, h_b, h_c}\). Ze wzoru:

\(\displaystyle{ S = \frac{r(a+b+c)}{2}}\)

Obliczamy r: \(\displaystyle{ r = \frac{2S}{a+b+c}}\)

Warunek z zadania:

\(\displaystyle{ h_a + h_b + h_c = 9r}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ a * h_a = 2S}\) itd, więc mamy:

\(\displaystyle{ \frac{2S}{a} + \frac{2S}{b} + \frac{2S}{c} = 9\cdot \frac{2S}{a+b+c}}\)

Dzielimy przez 2S:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 9\cdot \frac{1}{a+b+c}}\)

Równoważnie

\(\displaystyle{ (a+b+c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = 9}\)

Teraz można na kilka sposobów, np. zapiszmy to tak:

\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} = \frac{3}{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}}\)

Korzystamy teraz z nierówności między średnią arytmetyczną i harmoniczną. Mówi ona, że (przypadek dla n=3) jeżeli \(\displaystyle{ x,y,z > 0}\) to

\(\displaystyle{ \frac{x+y+z}{3} qslant \frac{3}{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})}}\)

i (to jest dla nas ważne) równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x = y = z}\).

Pozostaje zauważyć, że nasze równanie z zadania sprowadziliśmy do dokładnie tej postaci, tylko że mamy tam równość. Wnosimy stąd, że musi być \(\displaystyle{ a = b = c}\), czyli istotnie trójkąt jest równoboczny.

Dziekuje! wlasnie brakowalo mi tego konca! znam srednie, ale nie wpadlabym na to zeby tutaj z nich skorzystac:D