Matematyka.pl

Wyznaczyć trójkąt o bokach całkowitych i różnej długości i jednym z kątów \(\displaystyle{ 60^{o}}\), który ma najmniejszy możliwie obwód.

To trójkąt o bokach 3,8 i 7 (leżącym naprzeciwko kata 60 stopni). Kolejnym będzie trójkąt o bokach 5,8 i 7 (leżącym naprzeciwko kata 60 stopni)

Ten załącznik też może wyjaśnić tą ciekawą problematykę .
https://pl.wikipedia.org/wiki/Punkt_Fermata
T.W.

To trójkąt o bokach 3,8 i 7

A czemu ?

bo:

\(\displaystyle{ 3^2+8^2-3 \cdot 8=7^2}\)

i

\(\displaystyle{ 5^2+8^2-5 \cdot 8=7^2}\)

A gdybyśmy nie znali rozwiązania podanego przez <kerajs>
to jak znaleźć równanie podane przez < arek1357> (z trzema niewiadomymi )
w odniesieniu do trójkąta <mola > .
< ARKU > jaką drogą te dwa wyniki rozwłókniłeś .
T.W.

Twierdzenie cosinusów sprawa banalna...
i mamy równanie diofantyczne...

\(\displaystyle{ x^2+y^2-xy=z^2}\) jako równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ x}\) ma deltę \(\displaystyle{ 4z^2-3y^2}\)..,

Trójkąt 3, 5, 7 ma kąt 120 stopni....

To prawda, ale te mają 60 stopni:
5, 7, 8
7, 13, 15
9, 21, 24
11, 31, 35
13, 43, 48
15, 57, 63
16, 19, 21
17, 73, 80
19, 91, 99
20, 28, 32
24, 39, 45
28, 52, 60
32, 67, 77
33, 37, 40
36, 84, 96
39, 49, 55
45, 63, 72
51, 79, 91
56, 61, 65
64, 76, 84
85, 91, 96

OK!
Podobny problem :
Wyznaczyć trójkąt o bokach całkowitych i różnej długości i jednym z kątów 90, odp. (270)
który ma najmniejszy możliwie obwód ,
Rozumiem to tak :
Czy istnieją takie punkt miedzy ramionami tego kąta ,( leżące na przeciwko tego kąta)
dla których obwody stanowią najmniejszą wartość w liczbach całkowitych .
Podać równanie diofantyczne . w rozumieniu Kolegi <arka1357> , oraz Kolegi< kitsu-ne>
Pozdrawiam
T.W.

A jak to się ma do minimalnego obwodu podanego przez Herona
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Herona
T.W.

Trójkąt prostokątny /pierwotny/ ma boki \(\displaystyle{ x^2-y^2, \ 2xy, \ x^2+y^2}\) a obwód \(\displaystyle{ 2x(x+y)}\); więc to będzie egipski (boki 3, 4, 5).

Rozwiązania idą zawsze parami:
Drugim rozwiązaniem jest trójkąt egipski o bokach w liczbach całkowitych 4, 3 ,5 .
stąd takich rozwiązań w przypadku trójkątów egipskich powiększonych k -krotnie
( gdzie k- liczbą całkowitą ) .
o obwodach najmniejszych jest bez liku , znaczy do chcenia .
T.W.