Matematyka.pl

Długości boków trójkąta opisanego na okręgu o promieniu `1` tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Pokazać, że trójkąt jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy różnica ciągu jest mniejsza niż `1`.

Oznaczmy boki trójkąta przez \(a\), \(b=a+d\), \(c=a+2d\), gdzie \(d>0\). Przypadek trójkąta równobocznego pomijam jako oczywisty.

\((\Rightarrow)\)
Jeśli trójkąt jest ostrokątny, to \(a^2+b^2>c^2\), co daje \((a-3d)(a+d)>0\), czyli \(a>3d\) oraz \(c>5d\).

Jeśli \(p\) to połowa obwodu trójkąta, to
\(p-a=\frac{c}2+\frac{d}2>3d\),
\(p-c=\frac{a}2-\frac{d}2>d\),
\(p-b=\frac{b}2=\frac{p}3\).

Promień okręgu wpisanego jest równy
\(r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}3}>\sqrt{\frac{3d^2}3}=d\)

\((\Leftarrow)\)
Jeśli trójkąt nie jest ostrokątny, to zmieniamy nierówności \(>\) na \(\le\) i wszystko tak samo.